动态规划——完全背包的学习与思考

完全背包问题的学习与思考

01背包设置一维dp数组遍历顺序的讨论

在看这一篇文章之前，建议先看我的另一篇文章 01背包的学习与思考

在01背包的学习与思考 这篇文章中，针对状态压缩，即在讨论如何将dp数组设置为一维数组？ 的时候，实际上有提到，遍历顺序为先遍历物品再遍历背包的时候，针对01背包问题，我们在遍历背包时（也就是遍历一维dp数组时），要求下标从大到小进行遍历。

在01背包文章中也已经提到，下标从大到小进行遍历，根据其递推公式dp[j]=Math.max(dp[j],dp[j-curWeight]+curValue); 这里面dp[j-curWeight]指向的一定是下图中的黄色部分，即“历史”，而如果下标从小到大进行遍历，下标j-curWeight指向的实际上是前置的蓝色，如下图的第二部分，可能在j=0的时候，已经放入了物品0，而在j=1的时候，又会继续放入物品0，这就违背了01背包的每个物品只能被放入一次。

完全背包问题的概念

但是，我们这里讨论的是完全背包问题。

完全背包问题的概念：有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品都有无限个（也就是可以放入背包多次） ，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

这意味着什么？这意味着，正好套上了前面01背包问题，创建一维dp数组，但是遍历顺序是从小到大进行遍历的特点。背包大小从小到大进行遍历，对于01背包问题而言是违反了 01的概念，但是却恰好契合了完全背包的概念。

这里我们仍然还是采取01背包问题中的例子，如下表所示：（背包的最大容量是4）

	重量	价值
物品0	1	15
物品1	3	27
物品2	4	34

那么我们手动来比划，针对完全背包，物品0~物品2都可以无限重复取，最大价值如下：

可以很容易地推导到，最大的价值实际上是不断地、反复地去放物品0。

完全背包问题的组合和排列问题

在完全背包的应用问题中，实际上还区分为排列问题和组合问题。

这里我们直接说结论：

• 完全背包求组合数，那么就要先遍历物品，再遍历背包
• 完全背包求排列数，那么就要先遍历背包，再遍历物品。

关于组合和排列的说明：

比如说我们现在有面额为1和2的硬币，数量有无数个，那么凑成面额为5元的方案有多少种？

其中一定存在这两个情况： 1、2、2 和 2、1、2 。

对于组合来说，这俩就是一个方案，因为组合 不考虑顺序问题。

对于排列来说，这俩就是两个方案，因为排列，要考虑顺序问题。

这里抛出一个疑问，为什么呢？ 为什么偏偏先遍历物品再遍历背包 就是 求解组合数；先遍历背包再遍历物品，就是求解排列数呢？

这里实际上仍然举个例子就行了，我们简化一下上面的示例，比如我们现在手里有面额为1和2的硬币，凑成面额为3元

• 显而易见，无法两种凑合方式 1、2 和 2、1
• 凑成面额为3的组合方式，结果为1，因为1、2和2、1是一样的，顺序无关
• 凑成面额为3的排列方式，结果为2，因为1、2和2、1的顺序不一样。

0. 先遍历物品再遍历背包，只能是组合，而不能是排列。

   • 物品只有1和2，背包就是一维dp数组，背包容量从0~3，那么想象一下，先遍历物品再遍历背包，当遍历到物品为1时，会用这个1把整个dp数组都刷一遍，然后遍历到物品2时，会再用这个2把整个dp数组再刷一遍，最后得到结果。
   • 那么！这样的话，就只有1、2 何来的2、1 ？！！！ 所以只能解决组合问题。

1. 先遍历背包再遍历物品，解决的是排列问题

   • 先遍历背包，比方说现在遍历背包容量为1时，此时针对这个容量，再遍历物品，会用1,2都刷一遍；然后到了背包容量为2，此时针对容量2，又用物品1,2再刷一遍。这时候物品1、2和物品2、1顺序都兼顾到了

题目实例：

组合问题：518.零钱兑换II

这道题里面显式地提出了返回可以凑成总金额的硬币组合数

0. 确定dp数组及其含义： int[]dp=new int[amount+1];

   • dp[j]的含义为在总金额为j的情况下，能够通过硬币凑成金额为j的硬币组合数

1. 确定递推公式：

   • 当总金额j>= coins[i]的情况下，即当前硬币的面额能够加入到总金额j的组成之后，构成总金额j，能够有几种方法。
   • 当总金额j<coins[i]的情况下，即当前硬币的面额无法加入到总金额j的组成之中，保持现状dp[j]=dp[j]即可

2. dp数组初始化：

   • 这里特别说明一下为什么要设置dp[0]=1 。
   • 实际上也非常简单，比方说当前要凑成的总金额为2，然后手里面的硬币面额为2，肯定是能凑成的，确确实实是一种方法，那么dp[2-2]即dp[0] 一定要是1

class Solution {
    public int change(int amount, int[] coins) {
        int[] dp=new int[amount+1];
        dp[0]=1;
        for(int i=0;i<coins.length;i++){
            for(int j=1;j<=amount;j++){
                if(j>=coins[i]){
                    dp[j]=dp[j]+dp[j-coins[i]];
                }
            }
        }
        return dp[amount];
    }
}

排列问题377. 组合总和 Ⅳ

这道题实际上名字取的有点问题，说是组合总和，但是实际上看其示例，本质上求得是排列问题

​
class Solution {
    public int combinationSum4(int[] nums, int target) {
        int[]dp=new int[target+1];
        dp[0]=1;
        for(int j=0;j<=target;j++){
            for(int i=0;i<nums.length;i++){
                if(j<nums[i]){
                    continue;
                }
                else{
                    dp[j]+=dp[j-nums[i]];
                }
            }
        }
        return dp[target];
    }
}