小F的超市购物策略 | 豆包MarsCode AI刷题

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问题描述
小F正在超市购物，有$n$个商品摆成一排，每个商品的价格为$ai$​，小F对它的喜爱度为$bi$​。所有商品的价格都是偶数。超市有一个活动：当小F以原价购买某件商品时，她可以用半价购买下一件右边相邻的商品（当然也可以选择以原价购买，这样下一件商品仍有机会半价购买）。然而，如果小F半价购买了一件商品，那么下一件相邻的商品只能原价购买。
小F手中有$X$金额，她希望通过购物活动，尽可能最大化她获得的喜爱度总和，并且购买的商品总价格不能超过她的初始金额$X$。

测试样例
样例1：

输入：n = 4 ,x = 7 ,a = [2, 2, 6, 2] ,b = [3, 4, 5, 1]
输出：12

样例2：

输入：n = 3 ,x = 10 ,a = [4, 4, 4] ,b = [2, 3, 5]
输出：10

样例3：

输入：n = 5 ,x = 8 ,a = [2, 4, 4, 6, 2] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：10

问题分析
这是一道01背包问题的应用，对于动态规划相关问题，都可以使用以下几个步骤进行解析：
1、确定dp数组及下标的含义
2、确定状态转移方程
3、dp数组初始化

针对这道题目，可以考虑定义一个二维数组dp[i][j]来表示当剩余金额为j时，考虑到第i个商品时可以获得的最大喜爱度总和。其中i表示考虑到第i个商品时，j表示当前剩余金额。

针对每一种商品，有多种购买情况：

• 如果当前商品不购买，那么dp[i][j] = dp[i-1][j]
• 如果当前商品原价购买，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-a[i]]
• 如果当前商品以半价购买，并且上一件商品以原价购买，那么dp[i][j] = dp[i-1][j-a[i]/2] + b[i]

对于dp数组初始化，初始dp[0][0] = 0表示不购买任何商品时的喜爱度为0。

代码

function solution(n, x, a, b) {
    // 初始化dp数组
    let dp = Array.from({ length: n + 1 }, () => Array(x + 1).fill(0))

    for (let i = 1; i <= n; i++) {
        for (let j = 0; j <= x; j++) {
            // 不买
            dp[i][j] = dp[i - 1][j]

            // 原价购买
            if (j >= a[i - 1]) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 1][j - a[i - 1]] + b[i - 1])
            }

            // 半价购买
            if (i > 1 && j >= Math.floor(a[i - 1] / 2) + a[i - 2]) {
                dp[i][j] = Math.max(dp[i][j], dp[i - 2][j - Math.floor(a[i - 1] / 2) - a[i - 2]] + b[i - 1] + b[i - 2])
            }
        }
    }

    return dp[n][x];
}

最后利用豆包转成python提交

参考文献： 代码随想录