问题描述
现在有 M 种不同面值的硬币（硬币个数数目无限），如何用这些硬币组合为总数额为 N 的钱，同时满足使用硬币的个数最少？
输入格式
第一行为硬币面值正整数数组 （无序）
第二行为目标总数额，正整数
输出格式
总面值等于目标总数额的，且长度最小的硬币组合数组，结果不要求排序。如果不存在解则返回空数组
解题思路
这是一道经典的动态规划问题，可以把硬币和为dp[i] 表示达到金额 i 所需的最少硬币数。这样对于金额j，对每个硬币面值进行判断，对于特定的硬币面值coin,如果达到j的上一步是取一个coin面值的硬币，那么所需要的硬币数就为dp[i]=dp[i - coin] + 1
- 定义状态：我们可以使用一个数组
dp，其中dp[i]表示达到金额i所需的最少硬币数。 - 初始化：
dp[0] = 0，因为达到金额 0 不需要任何硬币。对于其他金额，初始化为一个较大的值（例如amount + 1），表示初始状态下无法达到这些金额。 - 状态转移：对于每个硬币面值
coin，更新dp数组。如果使用当前硬币coin可以减少达到金额i的硬币数，则更新dp[i]。dp[i] = min(dp[i], dp[i - coin] + 1)，其中coin是硬币的面值。 - 记录路径：遍历每个硬币面值，对于每个面值，从面值开始到目标金额N，更新
dp数组。为了记录使用的硬币组合，我们可以使用一个数组usedCoins来记录每个金额i使用的最后一个硬币。 - 构建结果
如果
dp[N]仍然是初始化的较大数，说明没有解决方案。否则，我们可以从dp[N]开始逆向构建硬币组合：
- 从
i = N开始，逆向遍历到0。 - 对于每个
i，如果dp[i]等于dp[i - coin] + 1，则将coin添加到结果数组中，并将i更新为i - coin。
时间复杂度
- 时间复杂度：O(M * N)，其中 M 是硬币种类数，N 是目标金额。
- 空间复杂度：O(N)，用于存储
dp数组
此题可以衍生出来很多变体
比如完全背包问题：
变体：每种硬币的数量有限，问最少需要多少硬币组成目标金额。
解法：使用完全背包问题的动态规划解法。
思路：
定义一个二维数组 dp[i][j]，其中 dp[i][j] 表示使用前 i 种硬币组成金额 j 所需的最少硬币数量。初始化 dp[0][j] = ∞（对于所有 j），因为如果没有硬币，我们无法组成任何金额。
状态转移方程
对于每种硬币 i 和每个金额 j（从0到N），我们更新 dp[i][j]：
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i−1][j])dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i−1][j]) dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i−1][j−k×coin[i]]+k)
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[i−1][j−k×coin[i]]+k)
其中 k 是当前硬币 i 可以使用的最大数量，且 k \times coin[i] \leq j。
