环状DNA序列的最小表示法 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小C正在研究一种环状的 DNA 结构，它由四种碱基A、C、G、T构成。这种环状结构的特点是可以从任何位置开始读取序列，因此一个长度为 n 的碱基序列可以有 n 种不同的表示方式。小C的任务是从这些表示中找到字典序最小的序列，即该序列的“最小表示”。

例如：碱基序列 ATCA 从不同位置读取可能的表示有 ATCA, TCAA, CAAT, AATC，其中 AATC 是字典序最小的表示。

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测试样例

样例1：

输入：dna_sequence = "ATCA"
输出：'AATC'

样例2：

输入：dna_sequence = "CGAGTC"
输出：'AGTCCG'

样例3：

输入：dna_sequence = "TTGAC"
输出：'ACTTG'

题目解析

问题描述
我们需要对一个环状 DNA 序列进行字典序排序，找到所有可能的表示中最小的那一个。环状意味着可以从任意位置开始读取，因此所有旋转的结果都需要考虑。

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关键点分析

1. 环状结构的本质：

   • 环状结构的任意旋转都可以看成从序列中某个位置开始的连续读取。
   • 例如，字符串 "ATCA" 可以看成 4 种不同的旋转表示："ATCA", "TCAA", "CAAT", "AATC"。

2. 字典序最小：

   • 字典序是对字符串的排序规则，类似于字典中的单词排序：

     • 比较字符串时，从首字母开始逐个比较 ASCII 值，小的字母序靠前。

   • 要找到所有可能的旋转表示中字典序最小的那个。

3. 优化思路：

   • 如果直接枚举所有旋转表示并排序，复杂度较高。
   • 为了简化，利用双倍拼接的方法，通过连续子串来模拟旋转表示，避免对原字符串进行多次旋转操作。

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解题策略

1. 构造双倍字符串：

   • 将字符串拼接成两倍长度，如输入 "ATCA"，拼接后得到 "ATCAATCA"。
   • 原字符串的所有旋转表示，可以通过取双倍字符串中的连续子串得到。

2. 枚举所有旋转表示：

   • 遍历拼接后的双倍字符串，从位置 i 开始截取长度为 n 的子串。
   • 每个子串对应一个原字符串的旋转表示。

3. 比较字典序：

   • 初始化最小表示为原字符串。
   • 遍历每个旋转表示，更新最小字典序。

代码实现（java版）

public class Main {
    public static String solution(String dna_sequence) {
        int n = dna_sequence.length();
        String doubledSequence = dna_sequence + dna_sequence;
        String minSequence = dna_sequence; // 初始化为原序列

        // 遍历所有长度为 n 的子串
        for (int i = 1; i < n; i++) {
            String candidate = doubledSequence.substring(i, i + n);
            if (candidate.compareTo(minSequence) < 0) {
                minSequence = candidate;
            }
        }

        return minSequence;
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(solution("ATCA").equals("AATC"));
        System.out.println(solution("CGAGTC").equals("AGTCCG"));
        System.out.println(solution("TCATGGAGTGCTCCTGGAGGCTGAGTCCATCTCCAGTAG").equals("AGGCTGAGTCCATCTCCAGTAGTCATGGAGTGCTCCTGG"));
    }
}

示例解析

1. 输入 ATCA：

   • 双倍拼接后：ATCAATCA。
   • 长度为 4 的子串有："ATCA", "TCAA", "CAAT", "AATC"。
   • 字典序最小为 "AATC"。

2. 输入 CGAGTC：

   • 双倍拼接后：CGAGTCCGAGTC。
   • 长度为 6 的子串有："CGAGTC", "GAGTCC", "AGTCCG", "GTCCGA", "TCCGAG", "CCGAGT"。
   • 字典序最小为 "AGTCCG"。

3. 输入 TTGAC：

   • 双倍拼接后：TTGACTTGAC。
   • 长度为 5 的子串有："TTGAC", "TGACT", "GACTT", "ACTTG", "CTTGA"。
   • 字典序最小为 "ACTTG"。

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复杂度分析

• 构造双倍字符串：O(n)。
• 遍历所有子串：O(n^2)（提取每个子串并比较字典序）。
• 总复杂度：O(n^2)。