最大乘积问题|豆包MarsCode Al刷题

问题描述

小R最近遇到了一个数组问题。他有一个包含N 个元素的数组，记作a1​,a2​,...,aN​。为了分析这个数组的特性，小R定义了两个函数L(i) 和R(i)，并希望通过这两个函数来找到一些有趣的结论。

• L(i) 是满足以下条件的最大的j值：

• j<i

• a[j]>a[i]

• 如果找不到这样的j，那么

  L(i)=0；如果有多个满足条件的j，选择离i 最近的那个。

• R(i) 是满足以下条件的最小的k 值：

• k>i

• a[k]>a[i]

• 如果找不到这样的k，那么R(i)=0；如果有多个满足条件的k，选择离i 最近的那个。

最终，小R定义MAX(i)=L(i)∗R(i)，他想知道在1≤i≤N 的范围内，MAX(i) 的最大值是多少。

问题分析

1. 定义函数 L(i) 和 R(i)：

   • L(i)：在数组中，找到满足 j < i 且 a[j] > a[i] 的最大 j 值。如果找不到这样的 j，则 L(i) = 0。如果有多个满足条件的 j，选择离 i 最近的那个。
   • R(i)：在数组中，找到满足 k > i 且 a[k] > a[i] 的最小 k 值。如果找不到这样的 k，则 R(i) = 0。如果有多个满足条件的 k，选择离 i 最近的那个。

2. 定义 MAX(i)：

   • MAX(i) = L(i) * R(i)，即 L(i) 和 R(i) 的乘积。

3. 目标：

   • 找到在 1 ≤ i ≤ N 的范围内，MAX(i) 的最大值。

解题步骤

1. 初始化 L 和 R 数组：

   • 创建两个数组 L 和 R，分别用于存储每个位置 i 的 L(i) 和 R(i) 值。

2. 计算 L(i)：

   • 对于每个位置 i，从 i-1 开始向前遍历，找到第一个满足 a[j] > a[i] 的 j，并记录其位置（1-based index）。如果没有找到，则 L(i) = 0。

3. 计算 R(i)：

   • 对于每个位置 i，从 i+1 开始向后遍历，找到第一个满足 a[k] > a[i] 的 k，并记录其位置（1-based index）。如果没有找到，则 R(i) = 0。

4. 计算 MAX(i) 并找到最大值：

   • 遍历数组，计算每个位置 i 的 MAX(i) = L(i) * R(i)，并记录其中的最大值。

数据结构选择

• 数组：用于存储 L 和 R 的值。

算法复杂度

• 时间复杂度：O(N^2)，因为对于每个 i，我们可能需要遍历整个数组来找到 L(i) 和 R(i)。
• 空间复杂度：O(N)，用于存储 L 和 R 数组。

通过以上步骤，我们可以实现一个算法来解决这个问题。、