理想火车站定位问题刷题笔记｜豆包MarsCode AI 刷题问题描述小F是A市的市长，正在计划在A市新建一个火

问题描述

小F是A市的市长，正在计划在A市新建一个火车站以方便市民的日常出行。市区内的街道布局十分规整，形成网格状。从一个位置[x1，y1]到另一个位置[x2，y2]的距离计算方法为|x1 - x2|+|y1 - y2|，即曼哈顿距离。在初步考察后，市政府列出了M个可能的火车站建设点。为了使得市民到火车站的总旅行时间最短，小F希望选出一个最优位置作为火车站的地址, 请你帮助小F计算出哪一个位置最适合建设新火车站。 ·N:市民的总人数。 ·M: 可建设火车站的备选位置数。 ·citizens:一个列表，每个元素是一个元组[x_i，y_i]，表示第i位市民的居住位置。 locations: 一个列表，每个元素是一个元组 [p_i,，q_i]，表示第i个备选的火车站位置。如果有多个火车站最优，那么选择第一次出现的那个。

题目分析

本题的目的是帮助A市市长小F选择一个最优火车站建设位置，使得全市居民到火车站的总旅行时间最短。具体要求如下：

距离定义：采用曼哈顿距离计算，即从点 [𝑥1,𝑦1]到点[𝑥2,𝑦2]的距离为∣𝑥1−𝑥2∣+∣𝑦1−𝑦2∣ 输入参数：

N：市民总人数。
M：可建设火车站的备选位置数。
citizens：市民住址的列表，每个元素是一个二维元组 (𝑥𝑖,𝑦𝑖)。
locations：备选火车站地址的列表，每个元素是一个二维元组 (𝑝𝑖,𝑞𝑖)。 输出要求：返回一个二维元组，表示最优火车站位置。如果存在多个候选位置使得总距离相同，则返回列表中第一个出现的位置。

解题思路

核心目标：

选择一个火车站建设位置，使得居民到火车站的曼哈顿距离总和最小。

实现步骤：

计算距离：使用曼哈顿距离公式 ∣𝑥1−𝑥2∣+∣𝑦1−𝑦2∣计算市民与火车站之间的距离。
遍历备选点：依次遍历所有火车站备选点，计算每个点到所有市民的距离总和。
记录最优结果：如果某个位置的总距离比当前最优值小，则更新最优值及最优位置。如果总距离相等，则保留列表中靠前的点。
返回结果：最终输出最优火车站位置。

时间复杂度分析：

外层遍历所有备选点 𝑀。
内层计算每个点到 𝑁个市民的距离总和。
总时间复杂度为 𝑂(𝑀×𝑁)。

实现代码

def solution(n, m, citizens, locations):
    def manhattan_distance(p1, p2):
        return abs(p1[0] - p2[0]) + abs(p1[1] - p2[1])
    
    min_distance = float('inf')  # 初始化最小距离为无穷大
    best_location = None  # 初始化最优位置为空
    
    # 遍历所有备选火车站位置
    for location in locations:
        # 计算当前位置到所有市民的距离总和
        total_distance = sum(manhattan_distance(location, citizen) for citizen in citizens)
        # 如果找到更小的总距离，则更新最优位置
        if total_distance < min_distance:
            min_distance = total_distance
            best_location = location
    
    return best_location

辅助函数：

定义 manhattan_distance 函数，计算两个点的曼哈顿距离，简洁明了。

初始化：

min_distance 设为无穷大，用于记录目前的最小距离总和。 best_location 初始化为空，记录当前的最优位置。

双层循环：

外层遍历 locations 列表中的每个备选火车站位置。内层使用列表推导式计算当前火车站位置到所有市民的距离总和。

更新逻辑：

如果当前火车站的总距离小于 min_distance，更新最优位置及最小距离。保证按顺序返回最优火车站点。

返回结果：

返回最优火车站位置。

总结与展望

总结：

该代码实现了题目要求的核心功能，逻辑清晰，代码简洁。
曼哈顿距离的计算公式被封装为一个辅助函数，增强了代码的可读性与复用性。
在遍历备选点时，始终保证按顺序记录第一个最优解，满足题目要求。

可能的改进：

优化性能：

在 𝑀 和 𝑁 较大的情况下，时间复杂度𝑂(𝑀×𝑁)可能不够高效，可以考虑空间划分或其他数学优化方法（如分治法）。

扩展功能：

如果未来需要支持多个火车站建设点，则需要调整算法，比如结合动态规划或聚类算法实现多点选址。

边界情况处理：

确保输入数据合法性（如空列表、重复点等），增强代码的鲁棒性。

展望：

该算法可以进一步推广到实际应用中，例如城市规划中的垃圾回收站选址、配送中心建设等问题。通过引入更多约束条件（如建设成本、地理限制），结合线性规划或机器学习算法，可以实现更复杂的选址优化。

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