农田灌溉最大化作物产量问题解题笔记 | 豆包MarsCode AI刷题介绍了一维二维前缀和的知识点，然后讲解了农田灌溉最

前置知识

前缀和和二维前缀和是常用的算法技巧，用于快速求解区间和问题，尤其在处理高频查询时表现出色。

前缀和（Prefix Sum）

前缀和是一种针对一维数组的技巧，主要用于高效求解数组中某个区间元素之和。核心思想是通过预处理，将每个位置的累积和保存起来，后续查询可以在常数时间内完成。

构造过程：构造前缀和数组时，第i个位置存储的是数组从开始到第i个元素的累加和。即：

$S[i] = A[0] + A[1] + \dots + A[i]$

其中 $S[i]$ 表示前缀和数组， $A$ 表示原始数组。
求区间和：对于区间 $[l, r]$ 的和，只需用公式：

$sum(l,r)=S[r]−S[l−1]$

当 $l=0$ 时，直接为 $S[r]$ 。
常用场景：
- 求多次区间和问题，例如统计成绩、数据分析。
- 判断连续子数组是否满足特定条件，如最大子数组和问题。
- 快速统计数组中满足条件的子数组个数。

二维前缀和（2D Prefix Sum）

二维前缀和是前缀和在二维数组中的扩展，用于快速求解矩阵中某个子矩形区域的元素之和。

构造过程：构造二维前缀和矩阵时，第(i, j)位置存储的是矩阵从左上角 (0,0) 到当前点 (i,j) 所有元素的和。即：

$S[i][j] = \sum_{0 \leq x \leq i, 0 \leq y \leq j} A[x][y]$

通过动态规划公式计算：

$S[i][j] = A[i][j] + S[i-1][j] + S[i][j-1] - S[i-1][j-1]$

最后一项是因为左上区域被重复计算。
求子矩形和：对于矩形区域 (x1, y1) 到 (x2, y2)，矩形和可以快速通过公式求得：

$\text{sum}(x1, y1, x2, y2) = S[x2][y2] - S[x1-1][y2] - S[x2][y1-1] + S[x1-1][y1-1]$

处理边界时特别注意。
常用场景：
- 图像处理：如统计某块区域的像素强度。
- 游戏开发：快速统计地图上某区域的资源分布。
- 数据挖掘：例如统计二维表格中某范围内数据的总和。

总结

前缀和和二维前缀和极大优化了区间和的查询速度，将原本需要线性或平方复杂度的计算降低到常数时间，非常适合高频查询的场景。同时，它们的思想还可以延展到更高维问题或与其他算法结合，广泛用于竞赛编程和实际开发中。

农田灌溉最大化作物产量问题 - MarsCode

回到这个问题，如果我们会普通的一维前缀和，我们很容易就可以想到，提前通过前缀和计算好每一行和每一列的和，然后枚举灌溉的行和列即可，需要特别注意的是一行和一列会有一个交叉点，那个点会被灌溉两次，我们需要减去其中一次灌溉的影响。不过这个题目不给数据范围，为了保险起见我开了long long，总复杂度为 $O(nm)$ 。

参考代码

int solution(int m, int n, vector<vector<int>>& a) {
    // n 行 m 列
    typedef long long ll;
    // 计算每一行和每一列的总和
    vector<ll> row(n, 0);
    vector<ll> col(m, 0);
    ll sum = 0;
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++) 
        for(int j = 0 ; j < m ; j ++) {
            row[i] += a[i][j];
            col[j] += a[i][j];
            sum += a[i][j];
        }
    ll ans = 0;
    // 枚举灌溉的行和列，注意减去相交点，因为不能灌溉两次
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++) 
        for(int j = 0 ; j < m ; j ++) {
            ans = max(ans, sum + row[i] + col[j] - a[i][j]);
        }
    return ans;
}