206 小R的二叉树探险 | 豆包Marscode Al刷题一个二叉树每层的节点值赋值方向是交替的，第一层从左到右，第二

问题描述

在一个神奇的二叉树中，结构非常独特：

每层的节点值赋值方向是交替的，第一层从左到右，第二层从右到左，以此类推，且该二叉树有无穷多层。
小R对这个二叉树充满了好奇，她想知道，在二叉树中两个节点之间x, y的路径长度是多少。

例子

graph TD
  1((1));
  3((3));2((2));
  4((4));5((5));6((6));7((7));
  15((15));14((14));13((13));12((12));11((11));10((10));9((9));8((8));
  1---3;1---2;
  3---4;3---5; 2---6;2---7;
  4---15;4---14;5---13;5---12;6---11;6---10;7---9;7---8;

问题分析

拿到这个问题，最容易想到的思路是：

根据x,y大小构建出对应的二叉树；
检索x,y的位置；
采用中序方式从x,y中任一节点走到另一节点，对走过路径进行计数，结果便是路径长度。

但是，对以以上思路，若用传统方式通过构建类对象来构建二叉树，势必有较大的空间复杂度，且难以体现该二叉树的特点；对于x,y的位置，该用什么指标进行表示；从x走到y或者反过来，如何确定走左还是走右，又或者上还是下。面临以上问题，我决定选择新的思路。

通过对该二叉树进行分析，可以发现：

若从每一层（假设每一层都是满的）看，奇数层的数据是顺序且从 $2^(n-1)$ 到 $2^n-1$ ,偶数层的数据是逆序且从 $2^n-1$ 到 $2^(n-1)$ ,n为层数。

因此，我考虑使用二维数组代替传统的类来构建该二叉树，以数据所在层级为坐标i，从所在层从左往右位置为坐标j，来实现对数据的定位。而在构建二叉树时，先求出x,y所需要的层数max_n，再一层一层构建，每层长度为 $2^(n-1)$ ，若为奇数层便顺序添加数据，若是偶数层便逆序添加数据。

构建好二叉树后或者在构建二叉树时，我们可以得到x,y所在位置xi，xj，yi，yj。接下来考虑路径方式：若用传统思路的从x出发到达y，对于每一步的方向都是不确定的，这会造成很大困难。而对于二叉树的性质，我想到了二叉检索树和Huffman编码的相关知识：

对于二叉树的任一节点，从根节点出发，向左标记为0，向右标记为1，便可对树的任一节点所在位置得到一串唯一的编码。

虽然这与Huffman编码并不一致，但是我们可以应用1类似的方法：

不从x或y出发，而是从根节点出发检索x,y的位置，将其向左或向右标记为0和1，对比x,y所得位置编码，相同的前缀表示从根节点出发到两点共同的路线，而编码不同处开始便表示x,y之间的转折点，该转折点到x,y步数之和也就是编码不同字符长度之和便是x,y之间路径长度。

对于x,y的位置，我们得到的数据是层级和在层级内的坐标，如何得到根节点到该位置的编码？再次对二叉树进行分析，可以得到以下结论：

若一个父节点的层级内坐标为j，则它的左孩子坐标为2j，右孩子坐标为2j+1。

因此，不需要从根节点出发寻找x,y位置，而是从x,y返回根节点，随着层级n不断递减，将xj，yj不断整除2返回父节点，若判断为父节点的左孩子位置编码前面加0，若判断为父节点的右孩子位置编码前面加1，最终返回根节点，层级n递减到0，便可得到x,y的位置编码。

最后，我发现，只需要根据二叉树构建的规律找到x,y的位置（i，j），便能根据位置编码得到两者间的路径长度，该过程与二叉树的构建规律无关。而根据二叉树构建的规律找到x,y的位置（i，j），也不需要完整构建该二叉树再进行遍历寻找，可以直接通过循环计算所得到。具体操作为：

通过对数算法找出x,y各自所在层数xi，yi;
从xi，yi中较大层起递减，计算该层是顺序还是逆序；
计算x,y距离该层起始值的位置便为j，奇数层是与 $2^(n-1)$ 之差，偶数层是与 $2^n-1$ 之差。

最终，在未构建二叉树的情况下，便可得到该二叉树内任意两个节点之间路径的距离。

def solution(x: int, y: int) -> int:
    # write code here
    xs=""
    ys=""
    n=1
    xi,yi=-1,-1
    while(2**(n-1)<max(x,y)):
        if 2**n>x and xi==-1:
            xi=n-1
        if 2**n>y and yi==-1:
            yi=n-1
        n+=1
    xj=x-2**xi
    yj=y-2**yi
    if xi%2!=0:
        xj=2**xi-xj-1
    if yi%2!=0:
        yj=2**yi-yj-1
    print(x,xi,xj)
    print(y,yi,yj)
    ni=max(xi,yi)
    while(ni>0):
        if ni<=xi:
            xs=str(xj%2)+xs
            xj=xj//2
        if ni<=yi:
            ys=str(yj%2)+ys
            yj=yj//2
        ni-=1
    i=0
    while(i<min(len(xs),len(ys))):
        if xs[i]!=ys[i]:
            break
        else:
            i+=1
    xs=xs[i:]
    ys=ys[i:]      
    return len(xs)+len(ys)

if __name__ == '__main__':
    print(solution(11, 4) == 5)
    print(solution(2, 5) == 3)
    print(solution(7, 7) == 0)