问题描述
一个旅行者外出旅行时需要将 n 件物品装入背包，背包的总容量为 m。每个物品都有一个重量和一个价值。你需要根据这些物品的重量和价值，决定如何选择物品放入背包，使得在不超过总容量的情况下，背包中物品的总价值最大。
给定两个整数数组 weights 和 values，其中 weights[i] 表示第 i 个物品的重量，values[i] 表示第 i 个物品的价值。你需要输出在满足背包总容量为 m 的情况下，背包中物品的最大总价值。
测试样例
样例1
输入：n = 3 ,weights = [2, 1, 3] ,values = [4, 2, 3] ,m = 3
输出：6
样例2
输入：n = 4 ,weights = [1, 2, 3, 2] ,values = [10, 20, 30, 40] ,m = 5
输出：70
样例3
输入：n = 2 ,weights = [1, 4] ,values = [5, 10] ,m = 4
输出：10
解题思路
这个问题是典型的0/1背包问题，它可以通过动态规划来解决。动态规划的关键在于构建一个二维数组dp，其中dp[i][j]表示在只考虑前i个物品时，背包容量为j可以获得的最大价值。
以下是解决这个问题的动态规划算法的步骤：
-
初始化一个二维数组
dp，大小为(n+1) * (m+1)，所有元素初始化为0。dp[i][j]表示考虑前i个物品，背包容量为j时的最大价值。 -
遍历每个物品，对于每个物品，更新
dp数组。对于每个物品i和每个可能的背包容量j，我们有两种选择：- 不放入第
i个物品，那么dp[i][j]的值就是dp[i-1][j]。 - 放入第
i个物品，那么dp[i][j]的值就是dp[i-1][j-weights[i]] + values[i]（前提是j大于等于weights[i]）。
- 不放入第
-
我们需要选择这两种情况中的最大值作为
dp[i][j]的值。 -
最终，
dp[n][m]就是我们要找的最大价值。
代码实现
def solution(n: int, weights: list, values: list, m: int) -> int:
# 初始化动态规划表格，额外添加一行和一列用于处理边界情况
dp = [[0 for _ in range(m + 1)] for _ in range(n + 1)]
# 填充动态规划表格
for i in range(1, n + 1):
for j in range(1, m + 1):
# 如果当前物品i的重量大于当前背包容量j，则不包括当前物品
if weights[i - 1] > j:
dp[i][j] = dp[i - 1][j]
else:
# 选择价值最大的方案：不包括当前物品的价值 或 包括当前物品的价值（如果包括，则剩余容量为j - weights[i - 1]）
dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weights[i - 1]] + values[i - 1])
# 返回背包的最大价值
return dp[n][m]
if __name__ == '__main__':
print(solution(n = 3, weights = [2, 1, 3], values = [4, 2, 3], m = 3) == 6)
print(solution(n = 4, weights = [1, 2, 3, 2], values = [10, 20, 30, 40], m = 5) == 70)
print(solution(n = 2, weights = [1, 4], values = [5, 10], m = 4) == 10)
'''
