探索最长「神奇数列」问题解析 | 豆包MarsCode AI刷题

学习记录与心得：探索最长「神奇数列」问题

在本次学习中，我接触并解决了一个有趣的数列问题，主题是从一个由 0 和 1 组成的正整数序列中找到最长的「神奇数列」。通过分析问题、设计算法并优化代码，我不仅加深了对字符串处理的理解，还总结了宝贵的编程经验。以下是我的学习过程与心得记录。

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问题描述分析

问题的核心是寻找最长的「神奇数列」。
「神奇数列」的定义如下：

1. 数列中的 0 和 1 必须严格交替出现；
2. 数列长度至少为 3。

例如：

• 序列 10101 是「神奇数列」，因为它是交替的且长度大于等于 3；
• 序列 1011 不是，因为末尾没有完全交替。

需要解决的问题是：

1. 从输入的序列中找到最长的「神奇数列」；
2. 如果有多个相同长度的序列，返回第一个出现的。

思路解析

1. 观察规律

一个序列是「神奇数列」的关键在于：

• 每个数字必须与前一个数字不同；
• 该交替序列的长度必须达到 3。

例如：

• 对于输入 0101011101：

  • 子序列 010101 满足交替性，且长度为 6；
  • 子序列 101 也满足交替性，但长度较短；
  • 返回结果应为 010101。

2. 分步解决思路

方法一：暴力枚举

• 枚举所有可能的子序列：用两个指针分别确定子序列的起点和终点；
• 验证交替性：对子序列逐一判断是否满足「神奇数列」的定义；
• 记录最长的序列：更新长度和起始位置。

优点：简单易懂，适合小规模问题。
缺点：复杂度较高，时间复杂度 $O(n^3)$。

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方法二：滑动窗口优化

• 滑动窗口是一种减少冗余计算的技巧：

  1. 窗口定义：找到交替开始的位置，记录窗口长度；
  2. 动态扩展窗口：只要交替性成立，窗口右边界继续扩展；
  3. 窗口收缩：一旦交替性中断，移动左边界重置窗口；
  4. 更新结果：在滑动过程中，记录最长的「神奇数列」。

优点：减少重复判断，时间复杂度降至 $O(n)$。

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3. 图解滑动窗口法

假设输入为：0101011101

• 初始时，窗口的起点为索引 0，窗口内元素为 0101。
• 遇到 11 时，交替性中断，窗口起点移动到 7。
• 继续向后扩展，窗口元素变为 101。

通过动态调整窗口，可以快速找到最长的交替子序列。

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代码详解

方法一：暴力解法

暴力解法通过枚举所有子序列，判断其是否满足交替性：

# 判断子序列是否是交替的 0 和 1
def is_alternating(subseq):
    for k in range(1, len(subseq)):
        if subseq[k] == subseq[k - 1]:
            return False
    return True

def solution_bruteforce(inp):
    max_length = 0
    max_start = 0
    
    # 遍历序列，枚举所有可能的子序列
    for i in range(len(inp)):
        for j in range(i + 3, len(inp) + 1):  # 子序列至少长度为 3
            subseq = inp[i:j]
            if is_alternating(subseq):
                # 如果当前子序列更长，更新记录
                if len(subseq) > max_length:
                    max_length = len(subseq)
                    max_start = i
    
    # 返回最长的「神奇数列」
    return inp[max_start:max_start + max_length]

# 测试
if __name__ == "__main__":
    assert solution_bruteforce("0101011101") == "010101"
    assert solution_bruteforce("1110101010000") == "10101010"
    assert solution_bruteforce("1010101010101010") == "1010101010101010"

代码解释：

1. 外层循环 i 遍历序列起点；
2. 内层循环 j 遍历序列终点；
3. is_alternating 检查当前子序列的交替性；
4. 如果子序列满足条件且更长，则更新记录。

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方法二：滑动窗口优化

滑动窗口通过一次遍历动态调整窗口范围，实现效率提升：

def solution_optimized(inp):
    max_length = 0
    max_start = 0
    start = 0  # 当前窗口起始位置
    
    for i in range(1, len(inp)):
        # 如果交替性中断
        if inp[i] == inp[i - 1]:
            start = i  # 更新窗口起始位置
        else:
            # 当前窗口长度
            length = i - start + 1
            if length > max_length:
                max_length = length
                max_start = start
    
    # 如果长度不足 3，返回空
    return inp[max_start:max_start + max_length] if max_length >= 3 else ""

# 测试
if __name__ == "__main__":
    assert solution_optimized("0101011101") == "010101"
    assert solution_optimized("1110101010000") == "10101010"
    assert solution_optimized("1010101010101010") == "1010101010101010"

代码解释：

1. 使用 start 记录当前窗口的起点；
2. 遇到交替性中断（如连续两个 0），重置 start；
3. 在每次扩展窗口时，动态计算长度并更新结果；
4. 最后返回记录的最长子序列。

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算法效率对比

方法	时间复杂度	空间复杂度	优点	缺点
暴力解法	$O(n^3)$	$O(1)$	简单易实现	性能较差
滑动窗口优化	$O(n)$	$O(1)$	高效，适合大规模输入	实现稍复杂

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测试与验证

测试用例

输入	输出	解释
"0101011101"	"010101"	最长序列为 "010101"
"1110101010000"	"10101010"	最长交替序列为 "10101010"
"1010101010101010"	"1010101010101010"	整个输入本身是最长序列
"000111000"	""	没有满足条件的子序列
"101"	"101"	短序列直接返回本身

运行结果

两种方法在上述测试用例中均表现正确，优化方法明显更快。

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学习心得

解决这个问题主要考虑的几个关键点：

1. 算法设计能力：通过两种不同思路解决问题，暴力方法更容易理解，滑动窗口体现算法优化的重要性。
2. 边界条件处理：在设计代码时注意考虑特殊情况，如序列过短或无有效子序列。
3. 实践编程技巧：滑动窗口是一种高效处理字符串和数组问题的通用技巧，可以广泛应用于类似问题。
4. 分而治之 将复杂问题拆解为多个子问题，例如：子序列生成、交替性判断、结果记录等，每部分独立实现再组合，代码更具可读性。

这次学习让我不仅掌握了字符串处理的技巧，还巩固了算法设计的思维逻辑，为今后的编程实践奠定了基础。