问题描述
小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件：
- 数组中的所有元素两两不同。
- 数组所有元素的最大公约数为
k。 - 数组元素之和尽可能小。
任务是输出该数组元素之和的最小值。
测试样例
样例1：
输入：
n = 3 ,k = 1
输出：6
样例2：
输入：
n = 2 ,k = 2
输出：6
样例3：
输入：
n = 4 ,k = 3
输出：30
问题说明
本问题要求我们构造一个长度为 n 的数组，使其满足以下三个条件：
- 数组中的元素两两不同。
- 数组中所有元素的最大公约数（GCD）为
k。 - 数组元素的和尽可能小。
最终，我们需要输出满足条件的数组元素之和的最小值。
这是一道综合性问题，涉及到数学中最大公约数的概念以及如何构造最优解。下面将详细分析问题，并解释代码的思路和实现。
问题分析
要理解问题，首先我们需要明确条件的要求：
-
两两不同：这表明数组的所有元素必须是互不相同的整数，这样数组中没有重复值。
-
最大公约数为
k：- 数组中所有元素的最大公约数为
k，意味着数组中的每个元素都必须是k的倍数。 - 如果数组中某个数不是
k的倍数，那么这些数的 GCD 将不再是k。
- 数组中所有元素的最大公约数为
-
元素和尽可能小：
- 为了使数组元素的和尽可能小，我们需要选择一组最小的满足上述条件的数。
解决思路
-
数组构造的关键：
- 如果我们希望数组中的最大公约数为
k，则数组中的所有元素应该形如：k * a_i，其中a_i是正整数。 - 由于我们要求元素两两不同，可以选择最小的
n个正整数作为a_i，即1, 2, 3, ..., n。
- 如果我们希望数组中的最大公约数为
-
最优解的性质：
- 假设数组为
[k * 1, k * 2, k * 3, ..., k * n]，这是一组最小的满足条件的数组。 - 该数组的和为： sum=k×(1+2+3+...+n)\text{sum} = k \times (1 + 2 + 3 + ... + n)sum=k×(1+2+3+...+n)
- 使用数学公式计算
1到n的和： 1+2+3+...+n=n×(n+1)21 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n \times (n + 1)}{2}1+2+3+...+n=2n×(n+1) - 所以数组的最小和为： sum=k×n×(n+1)2\text{sum} = k \times \frac{n \times (n + 1)}{2}sum=k×2n×(n+1)
- 假设数组为
-
步骤总结：
- 构造长度为
n的数组，其中每个元素为k的倍数。 - 选择
k * 1, k * 2, k * 3, ..., k * n，它们是满足条件的最小数组。 - 计算数组的和，直接使用公式即可得到最优解。
- 构造长度为
代码
#include <iostream>
#include <vector>
#include <string>
using namespace std;
int solution(int n, int k) {
// write code here
int ans=n*(n+1)/2*k;
return ans;
}
int main() {
std::cout << (solution(3, 1) == 6) << std::endl;
std::cout << (solution(2, 2) == 6) << std::endl;
std::cout << (solution(4, 3) == 30) << std::endl;
}
