第四题题解

题目解析：计算符合条件的数字组合数量

问题背景

小M面对一组从 1 到 9 的数字，这些数字被分成多个小组，并从每个小组中选择一个数字组成一个新的数。目标是使得这个新数的各位数字之和为偶数。任务是计算出有多少种不同的分组和选择方法可以达到这一目标。

问题分析

1. 输入与输出：

   • 输入：一个由多个整数字符串组成的列表 numbers，每个字符串可以视为一个数字组。
   • 输出：一个整数，表示符合条件的组合数量。

2. 关键点：

   • 数字的和为偶数的条件是：所有选出的数字的和为偶数。
   • 一个数是偶数，当且仅当它的个位数是偶数（0, 2, 4, 6, 8）。
   • 一个数是奇数，当且仅当它的个位数是奇数（1, 3, 5, 7, 9）。

3. 策略：

   • 对于每个数字组，统计其中奇数和偶数的数量。
   • 计算所有可能的组合，确保最终的和为偶数。

解题思路

1. 统计奇偶数：

   • 遍历每个数字组，统计其中奇数和偶数的数量。
   • 使用一个列表来存储每个数字组的奇数和偶数的数量。

2. 动态规划：

   • 使用动态规划的思想来计算所有可能的组合。
   • 定义两个状态：dp[0] 表示当前和为偶数的方式数，dp[1] 表示当前和为奇数的方式数。
   • 初始状态：dp[0] = 1（即不选择任何数字时的情况），dp[1] = 0。

3. 状态转移：

   • 对于每个数字组，计算新的 dp 值。
   • 如果选择一个偶数，当前和的奇偶性不变；如果选择一个奇数，当前和的奇偶性会改变。
   • 更新 dp 值，确保最终的和为偶数。

4. 计算结果：

   • 最终返回 dp[0]，即和为偶数的方式数。

代码实现

def count_ways_to_make_even_sum(numbers): # dp[0]表示当前和为偶数的方式数，dp[1]表示当前和为奇数的方式数 dp = [1, 0] # 初始时和为偶数的方式数为1（即不选择任何数字时的情况）

# 遍历每一个数字组
for group in numbers:
    # 将 group 转换为字符串
    group = str(group)
    
    # 计算当前组中数字的奇偶性
    even_count = 0
    odd_count = 0
    for num in group:
        if int(num) % 2 == 0:
            even_count += 1  # 偶数
        else:
            odd_count += 1   # 奇数
    
    # 临时存储新的dp值
    new_dp = [0, 0]
    
    # 如果选择一个偶数，当前和的奇偶性不变
    new_dp[0] = dp[0] * even_count + dp[1] * odd_count  # 和为偶数的方式数
    new_dp[1] = dp[1] * even_count + dp[0] * odd_count  # 和为奇数的方式数
    
    # 更新dp
    dp = new_dp

# 最后返回和为偶数的方式数
return dp[0]

测试样例

print(count_ways_to_make_even_sum([123, 456, 789])) # 输出 14 print(count_ways_to_make_even_sum([123456789])) # 输出 4 print(count_ways_to_make_even_sum([14329, 7568])) # 输出 10 def 

count_ways_to_make_even_sum

(numbers):

    # dp[0]表示当前和为偶数的方

    式数，dp[1]表示当前和为奇数

    的方式数

    dp = [1, 0]  # 初始时和为

    偶数的方式数为1（即不选择任何

    数字时的情况）

    # 遍历每一个数字组

    for group in numbers:

        # 将 group 转换为字符

        串

        group = str(group)

        

        # 计算当前组中数字的奇

        偶性

        even_count = 0

        odd_count = 0

        for num in group:

            if int(num) % 2 

            == 0:

                even_count 

                += 1  # 偶数

            else:

                odd_count 

                += 1   # 奇

                数

        

        # 临时存储新的dp值

        new_dp = [0, 0]

        

        # 如果选择一个偶数，当

        前和的奇偶性不变

        new_dp[0] = dp[0] * 

        even_count + dp[1] 

        * odd_count  # 和为偶

        数的方式数

        new_dp[1] = dp[1] * 

        even_count + dp[0] 

        * odd_count  # 和为奇

        数的方式数

        

        # 更新dp

        dp = new_dp

    

    # 最后返回和为偶数的方式数

    return dp[0]

# 测试样例

print

(count_ways_to_make_even_sum

([123, 456, 789]))  # 输出 

14

print

(count_ways_to_make_even_sum

([123456789]))       # 输出 

4

print

(count_ways_to_make_even_sum

([14329, 7568]))     # 输出 

10

代码解释

1. 初始化：

   • dp = [1, 0]：初始时和为偶数的方式数为1（即不选择任何数字时的情况），和为奇数的方式数为0。

2. 遍历数字组：

   • 对于每个数字组，将其转换为字符串，以便逐个字符进行处理。

3. 统计奇偶数：

   • 遍历每个数字组中的字符，统计奇数和偶数的数量。

4. 动态规划更新：

   • 计算新的 dp 值，考虑选择偶数和奇数的情况。
   • 更新 dp 值，确保最终的和为偶数。

5. 返回结果：

   • 最终返回 dp[0]，即和为偶数的方式数。

总结

通过动态规划的方法，我们可以有效地计算出符合条件的数字组合数量。关键在于正确统计每个数字组的奇偶数，并利用动态规划的思想来更新状态，确保最终的和为偶数。这种方法不仅高效，而且易于理解和实现。