蛋糕工厂产能规划解析| 豆包MarsCode AI刷题

题目背景与分析

问题描述

小明经营了一家蛋糕工厂。工厂初始有 mm 台机器和 ww 名工人，生产 nn 个蛋糕需要尽可能短的天数。工厂每天能生产的蛋糕数量是 m×wm \times w（机器数和工人数的乘积）。为了提升效率，小明可以通过消耗一定数量的蛋糕（每个单位 pp 个蛋糕）购买新的机器或工人。

具体规则如下：

1. 小明可以选择生产蛋糕，或者用蛋糕购买更多的机器或工人。
2. 目标是通过最优的策略，尽可能少的天数完成 nn 个蛋糕的生产。

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解题思路与策略

1. 核心问题

如何权衡 生产蛋糕 和 购买设备：

• 如果直接生产所需蛋糕数更快，则应该直接生产；
• 如果购买新的机器或工人能加速未来的生产速度，则应该优先购买。

关键点在于每一步动态选择 最优策略，即：

• 判断当前生产直接完成任务的时间；
• 判断购买设备后能否缩短生产时间。

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2. 贪心优化

1. 购买设备的优先级：

   • 每次优先选择增加当前较少的一方（机器或工人），使 $m≈ w$，从而最大化每天生产的蛋糕数量。

2. 动态调整：

   • 每次更新当前蛋糕数 $candies\text{candies}$、设备数 $m,w,$以及已用天数 $days\text{days}$，并重复评估下一步操作。

3. 等待策略：

   • 如果当前蛋糕不足以购买设备，则需要模拟等待天数，直到生产足够蛋糕购买设备为止。

4. 提前停止：

   • 每次购买设备后重新评估，如果直接生产能完成目标，则立即停止购买，直接完成任务。

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3. 详细流程

1. 初始化参数：

   • 当前机器数 m，工人数 w，购买设备成本 p，目标蛋糕数 n。
   • 初始蛋糕数量 $candies=0$，已用天数 $days=0$。

2. 循环模拟：

   • 计算如果直接生产完成目标所需的天数 $remaining_{days}$；

   • 判断是否需要购买设备：

     • 如果当前蛋糕数$candies<p$，模拟等待生产到够购买所需蛋糕的时间；
     • 用最优策略购买设备，优先平衡机器和工人数量。

   • 更新状态：增加当前生产的蛋糕数，增加天数。

3. 当总蛋糕数 $candies≥n$ 时停止，返回总用天数。

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图解流程

以示例$m=3,w=1,p=2,n=12m=3, w=1, p=2, n=12$ 为例：

步骤	当前机器数 m	工人数 w	当前蛋糕数 $candies$	已用天数 $days$	操作描述
1	3	1	0	0	生产 33 个蛋糕
2	3	1	3	1	购买 2 台机器，更新 m=5m=5
3	5	1	1	1	生产 55 个蛋糕
4	5	1	6	2	再购买 1 台机器和 1 名工人
5	6	2	0	2	生产 1212 个蛋糕，完成

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代码解析

def solution(m, w, p, n):
    # 初始化变量
    candies = 0   # 当前拥有的蛋糕数量
    days = 0      # 已用的天数
    min_days = float('inf')  # 最少天数初始化为正无穷

    while candies < n:
        # 判断如果直接等待是否能更快完成任务
        remaining_days = (n - candies + m * w - 1) // (m * w)  # 剩余目标所需天数
        min_days = min(min_days, days + remaining_days)

        # 如果当前蛋糕数不足以购买设备，则生产到够为止
        if candies < p:
            # 计算需要生产到够购买设备的时间
            time_to_produce = (p - candies + m * w - 1) // (m * w)
            days += time_to_produce
            candies += time_to_produce * m * w

        # 使用蛋糕购买设备，优先增加较少的一方
        candies -= p
        if m <= w:
            m += 1  # 增加机器数
        else:
            w += 1  # 增加工人数

        # 更新状态
        candies += m * w  # 增加当天生产的蛋糕数
        days += 1         # 增加天数

    return min(min_days, days)

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核心逻辑解析

1. remaining_days 计算：

   • 利用当前产能计算直接完成任务的剩余时间： $remaining_{days} = \lceil \frac{n - \text{candies}}{m \times w} \rceil$

2. 模拟生产到足够购买：

   • 当 $candies<p$时，无法直接购买设备，则模拟生产 $time to produce$ 天直到满足 $candies≥p$。

3. 贪心设备购买：

   • 每次购买后使机器数 m和工人数 w尽量接近，从而提高总产能。

4. 状态更新：

   • 每次生产后，更新蛋糕数$candies$、天数 $day$，继续下一轮操作。

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测试样例

# 测试样例
print(solution(3, 1, 2, 12))  # 输出: 3
print(solution(10, 5, 30, 500))  # 输出: 8
print(solution(3, 5, 30, 320))  # 输出: 14

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复杂度分析

1. 时间复杂度：

   • 每次操作要么直接完成任务，要么通过模拟生产和购买设备调整状态。
   • 最多进行 O(log⁡n) 次设备购买或直接生产的判断，时间复杂度为 O(log⁡n)。

2. 空间复杂度：

   • 仅使用了常数变量，空间复杂度为 O(1)。

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思考与拓展

1. 优化策略：

   • 当蛋糕数较大时，可以增加更复杂的动态规划判断，进一步优化设备购买顺序。
   • 当 m, w 不平衡时，可以设计更细致的平衡逻辑。

2. 其他应用：

   • 类似问题在生产调度、资源分配领域有广泛应用，例如优化服务器部署、任务分工等。
   • 这道题目涉及多个算法思想和数据结构的通用方法，以下是详细的阐述：

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本题涉及到的算法的一般情况

1. 贪心算法的一般方法

• 核心思想：在每一步决策中选择局部最优解，期望通过一系列局部最优解得到全局最优解。

• 适用场景：当问题可以分解为多个子问题，并且子问题的最优解可以保证整体问题的最优解时。

• 一般步骤：

  1. 确定贪心选择的标准，例如最大化收益、最小化成本。
  2. 按照标准从当前状态出发，选择最优的操作。
  3. 更新状态，并继续执行贪心选择，直到达到问题的终止条件。

• 在本题中的体现：

  • 每一步判断是等待直接生产更优还是购买新设备更优。
  • 在购买设备时，优先增加机器或工人较少的一方，最大化生产能力。

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2. 动态规划的一般方法

• 核心思想：将问题分解为多个子问题，通过记录子问题的解，避免重复计算，递推求解最终问题。

• 适用场景：

  • 问题具有重叠子问题和最优子结构。
  • 可以通过状态转移方程将大问题分解为子问题。

• 一般步骤：

  1. 定义状态变量，明确问题的子结构。
  2. 找到状态转移方程，即如何从前一个状态递推到当前状态。
  3. 根据边界条件初始化状态。
  4. 按照递推公式逐步计算，直到得到最终解。

• 在本题中的体现：

  • 将每次购买设备后的状态视为一个子问题，通过状态递推（增加机器或工人后更新生产效率）逐步逼近最优解。

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3. 队列模型的一般方法

• 核心思想：模拟一组任务的先进先出（FIFO）处理逻辑。

• 适用场景：

  • 需要按顺序处理任务，例如生产过程、任务调度等。
  • 每一步操作需要基于前一步的结果进行推进。

• 一般步骤：

  1. 初始化队列，确定初始状态（例如初始的蛋糕数量）。
  2. 每一步从队列中取出当前任务，执行操作。
  3. 将操作结果作为新的任务加入队列。
  4. 重复执行，直到满足停止条件。

• 在本题中的体现：

  • 当前蛋糕不足时，模拟生产过程，相当于蛋糕逐步「入队」直到满足条件。

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4. 优先队列模型的一般方法

• 核心思想：每次从一组候选任务中选择优先级最高的任务处理。

• 适用场景：

  • 需要动态管理多个任务的优先级，例如最短路径、任务调度。
  • 每次任务选择需要权衡收益或成本，选择最优任务。

• 一般步骤：

  1. 初始化优先队列，根据任务的优先级排序。
  2. 每次从队列中取出优先级最高的任务进行处理。
  3. 将处理后的结果加入队列，并重新调整优先级。
  4. 重复执行，直到满足停止条件。

• 在本题中的体现：

  • 当前蛋糕不足以购买时，计算需要等待的天数，这种跳过无效步骤的行为类似于优先队列的「任务挑选」逻辑。

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5. 数学优化的一般方法

• 核心思想：利用数学公式直接计算问题的结果，而不是逐步模拟，避免冗余操作。

• 适用场景：

  • 问题中存在简单的数学关系，可以通过公式推导直接求解。

• 一般步骤：

  1. 分析问题的数学关系，找到公式化的解法。
  2. 优化冗余计算，将多次循环操作转换为一次性计算。
  3. 用数学公式代替复杂逻辑，减少计算复杂度。

• 在本题中的体现：

  • 使用公式$\lceil\frac{\text{剩余目标蛋糕数}}{\text{当前每天产量}} \rceil$ 快速计算等待天数，而不是逐天模拟生产。

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6. 问题建模的一般方法

• 核心思想：将实际问题抽象为数学问题或算法问题，通过模型解决实际需求。

• 适用场景：

  • 实际问题需要优化过程，例如生产调度、资源分配、路径规划。

• 一般步骤：

  1. 分析问题背景，明确核心目标（如最短天数、最低成本）。
  2. 抽象问题的变量和约束条件，定义状态和操作。
  3. 确定解决问题的算法或数学模型，设计求解流程。
  4. 验证模型的合理性，并根据实际问题需求进行调整。

• 在本题中的体现：

  • 通过蛋糕生产、设备购买抽象为「状态转移」问题，目标是最小化完成生产目标的天数。

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7. 复杂度分析的一般方法

• 核心思想：从算法的时间复杂度和空间复杂度两个方面分析其效率。

• 适用场景：

  • 需要评估算法性能，特别是在输入规模较大的情况下。

• 一般步骤：

  1. 时间复杂度：分析主要操作的执行次数或增长趋势。
  2. 空间复杂度：分析算法中使用的额外存储空间。
  3. 结合最坏情况和平均情况评估算法的整体性能。

• 在本题中的体现：

  • 时间复杂度：跳过冗余操作后，每次购买设备显著增加生产效率，复杂度近似 O(log⁡n)O(\log n)。
  • 空间复杂度：仅使用常量级变量，无需额外存储，复杂度为 O(1)O(1)。

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