最大乘积问题 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小R最近遇到了一个数组问题。他有一个包含 NN 个元素的数组，记作 a1,a2,...,aNa1​,a2​,...,aN​。为了分析这个数组的特性，小R定义了两个函数 L(i)L(i) 和 R(i)R(i)，并希望通过这两个函数来找到一些有趣的结论。

• L(i)L(i) 是满足以下条件的最大的 jj 值：
• j<ij<i
• a[j]>a[i]a[j]>a[i]
• 如果找不到这样的 jj，那么 L(i)=0L(i)=0；如果有多个满足条件的 jj，选择离 ii 最近的那个。
• R(i)R(i) 是满足以下条件的最小的 kk 值：
• k>ik>i
• a[k]>a[i]a[k]>a[i]
• 如果找不到这样的 kk，那么 R(i)=0R(i)=0；如果有多个满足条件的 kk，选择离 ii 最近的那个。

最终，小R定义 MAX(i)=L(i)∗R(i)MAX(i)=L(i)∗R(i)，他想知道在 1≤i≤N1≤i≤N 的范围内，MAX(i)MAX(i) 的最大值是多少。

测试样例

样例1：

输入：n = 5, array = [5, 4, 3, 4, 5]
输出：8

样例2：

输入：n = 6, array = [2, 1, 4, 3, 6, 5]
输出：15

样例3：

输入：n = 7, array = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
输出：0

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问题解析：

需要分析数组中的每个元素，找到它左右两侧第一个比它大的元素，并通过这两个元素的索引计算最大值。

关键点：

1. L(i) 的定义：

   • 在当前位置 i 左侧找到第一个比 array[i] 大的元素。
   • 如果不存在，则 L(i) = 0。
   • 否则，L(i) 是这个元素的索引（从1开始计数）。

2. R(i) 的定义：

   • 在当前位置 i 右侧找到第一个比 array[i] 大的元素。
   • 如果不存在，则 R(i) = 0。
   • 否则，R(i) 是这个元素的索引（从1开始计数）。

3. MAX(i) 的定义：

   • MAX(i) = L(i) * R(i)。
   • 最终要找到所有 MAX(i) 中的最大值。

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实现思路：

1. 初始化数组 L 和 R：

   • 创建两个数组 L 和 R，分别存储每个位置的 L(i) 和 R(i)。

2. 使用单调栈计算 L(i)：

   • 遍历数组，对于每个元素，利用单调栈找到左侧第一个比当前元素大的值。
   • 如果栈顶元素比当前元素小或相等，弹出栈顶元素。
   • 栈顶元素即为左侧第一个比当前元素大的元素。

3. 使用单调栈计算 R(i)：

   • 从右向左遍历数组，逻辑类似计算 L(i)。
   • 使用单调栈找到右侧第一个比当前元素大的值。

4. 计算 MAX(i) 并求最大值：

   • 遍历所有位置，计算 MAX(i) 并记录最大值。

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代码分析：

def solution(n, array):
    # 初始化 L 和 R 数组
    L = [0] * n  # L[i] 存储第一个左侧比 array[i] 大的元素的索引
    R = [0] * n  # R[i] 存储第一个右侧比 array[i] 大的元素的索引
    
    # 使用单调栈计算 L(i)
    stack = []  # 存储索引的单调栈
    
    for i in range(n):
        # 移除栈中比当前元素小的元素
        while stack and array[stack[-1]] <= array[i]:
            stack.pop()
                                                    
        # 栈顶元素是第一个比 array[i] 大的左侧元素
        L[i] = stack[-1] + 1 if stack else 0
        stack.append(i)
    
    # 使用单调栈计算 R(i)
    stack = []
                                                    
    for i in range(n - 1, -1, -1):  # 从右向左遍历
        while stack and array[stack[-1]] <= array[i]:
            stack.pop()
    
        # 栈顶元素是第一个比 array[i] 大的右侧元素
        R[i] = stack[-1] + 1 if stack else 0
        stack.append(i)
    
    # 计算 MAX(i) 的最大值
    max_value = 0
    
    for i in range(n):
        max_value = max(max_value, L[i] * R[i])
    
    return  max_value

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复杂度分析：

1. 时间复杂度：

   • 计算 L 和 R 的过程各遍历数组一次，每个元素最多被压入和弹出栈一次，时间复杂度为 O(n)。
   • 最终求 MAX(i) 最大值的循环也是 O(n)。
   • 总时间复杂度： O(n)。

2. 空间复杂度：

   • 额外使用了两个数组 L 和 R，每个大小为 O(n)。
   • 使用单调栈存储索引，栈的最大深度为 O(n)。
   • 总空间复杂度： O(n)。

最大乘积问题解析

问题描述：

小R有一个包含 NNN 个元素的数组 a1,a2,...,aNa_1, a_2, ..., a_Na1​,a2​,...,aN​。他定义了两个函数 L(i)L(i)L(i) 和 R(i)R(i)R(i)：

• L(i)L(i)L(i)：在当前位置 iii 左侧找到第一个比 a[i]a[i]a[i] 大的元素索引（从1开始）。如果没有，返回0。
• R(i)R(i)R(i)：在当前位置 iii 右侧找到第一个比 a[i]a[i]a[i] 大的元素索引（从1开始）。如果没有，返回0。

最终定义 MAX(i)=L(i)×R(i)MAX(i) = L(i) \times R(i)MAX(i)=L(i)×R(i)，要求找到所有 MAX(i)MAX(i)MAX(i) 中的最大值。

示例：

• 输入：n = 5, array = [5, 4, 3, 4, 5]
• 输出：8

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知识总结

1. 单调栈：

   • 用于在O(N)时间复杂度内求解下一个更大/更小元素问题。
   • 针对这个问题，单调栈可以帮助快速找到左侧和右侧第一个比当前元素大的索引。

2. 优化思路：

   • 采用单调递减栈分别从左到右和从右到左遍历数组，记录每个位置L(i) 和 R(i)。
   • 最终遍历数组，计算所有 MAX(i)，取最大值。

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学习计划

• 学习单调栈的原理及其应用场景，结合动态规划或滑动窗口，尝试解决复杂的栈应用题目。

• 对错题进行详细总结，分析错误原因，记录解法和注意点。

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工具运用

• 错题分析: 使用 豆包 AI 生成的详细解析帮助理解错题，能够快速找到解题关键点。
• 知识学习: 通过 豆包 AI 解析题目后，遇到不懂的概念，也可以结合其他学习资料去学习并理解。