第124题有限制的攀登楼梯问题描述小U最近决定挑战一座非常高的楼梯，每次他可以选择走一步或两步，但有一个重要的限制：

问题描述

小U最近决定挑战一座非常高的楼梯，每次他可以选择走一步或两步，但有一个重要的限制：他不能连续走两步。因此，小U想知道他总共有多少种不同的方式可以从楼梯的底部走到顶端。

你需要帮他计算在给定的楼梯层数下，小U有多少种走法。

问题分析

楼梯的步数规则：
- 每次可以选择走 1 步 或 2 步。
- 但不能连续走两步，即不能连续两次选择走 2 步。
目标：
- 计算总共有多少种不同的走法，从第 0 层走到第 $n$ 层。
解题思路：
- 如果没有限制，问题的解决方式类似于斐波那契数列。
- 但是加入了「不能连续两步」的限制后，需要设计新的状态转移方程来满足条件。

解题步骤

1. 定义状态

设 $f(n)$ 表示小U到达第 $n$ 层的方法数。

为了处理「不能连续走两步」的限制，我们可以扩展状态，定义：

$f(n,1)$ ：到达第 $n$ 层，且最后一步走了 1 步 的方案数。
$f(n,2)$ ：到达第 $n$ 层，且最后一步走了 2 步 的方案数。

这样，总的方案数为：

$f(n) = f(n, 1) + f(n, 2)$

2. 状态转移方程

如果最后一步是 1 步，则前一步可以是 $1$ 步或 $2$ 步： $f(n, 1) = f(n-1, 1) + f(n-1, 2)$
如果最后一步是 2 步，则前一步必须是 $1$ 步（因为不能连续两步）： $f(n,2)=f(n−2,1)$

3. 边界条件

$f(1, 1) = 1$ ：到达第 1 层且最后一步走了 1 步，只有一种方法。
$f(1, 2) = 0$ ：到达第 1 层不可能以 2 步结束。
$f(2, 1) = 1$ ：到达第 2 层且最后一步走了 1 步，只有一种方法（1+1）。
$f(2, 2) = 1$ ：到达第 2 层且最后一步走了 2 步，只有一种方法（直接走 2 步）。

算法实现

我们可以直接用动态规划来实现上述状态转移。

Python代码实现

def count_ways(n):
    if n == 1:
        return 1  # 只有一种方法
    if n == 2:
        return 2  # 两种方法
    
    # 初始化 DP 数组
    f1, f2 = 1, 0  # 表示 f(n-1, 1) 和 f(n-1, 2)
    f3, f4 = 1, 1  # 表示 f(n, 1) 和 f(n, 2)
    
    # 动态规划计算每一层的方式数
    for i in range(3, n + 1):
        new_f1 = f3  # f(n, 1) = f(n-1, 1) + f(n-1, 2)
        new_f2 = f1  # f(n, 2) = f(n-2, 1)
        f1, f2 = f3, f4  # 更新 f(n-1, 1) 和 f(n-1, 2)
        f3, f4 = new_f1 + f2, new_f2  # 更新 f(n, 1) 和 f(n, 2)
    
    return f3 + f4  # 返回总方案数 f(n) = f(n, 1) + f(n, 2)

复杂度分析

时间复杂度： $O(n)$
- 由于每一层的计算只依赖于前两层，所以算法只需要一次循环即可完成。
空间复杂度： $O(1)$
- 只需要维护有限的变量来存储当前状态，无需额外数组。

样例分析

样例 1：n = 2

走法：1+1，2
结果：2 种走法。

样例 2：n = 3

走法：1+1+1，1+2，2+1
结果：3 种走法。

样例 3：n = 4

走法：1+1+1+1，1+2+1，2+1+1，1+1+2
结果：4 种走法。

总结

本题通过动态规划的状态设计解决了「不能连续走两步」的限制，核心在于分解状态，并通过简单的递推公式高效计算每一层的方案数。

第124题 有限制的攀登楼梯