多米诺骨牌的等价对数问题 | 豆包MarsCode AI刷题

Kayson
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AI刷题实践与工具使用分析：多米诺骨牌的等价对数问题

在算法学习中，AI刷题工具不仅提高了学习效率，还帮助学习者深入理解核心算法的本质，解决了诸多复杂问题。本文以一道关于多米诺骨牌等价对数的经典问题为例，分析AI刷题工具在学习中的独特价值，深入剖析该问题的解决方法，并结合代码详细阐述算法思想。

问题背景与核心分析

问题描述

小F有一组多米诺骨牌，每张骨牌由两个数字组成，例如 [a, b]。如果两张骨牌满足以下条件之一，则认为它们是等价的：

  • (a==c∧b==d)(a == c \land b == d)(a==c∧b==d)：两张骨牌的两个数字完全相同；
  • (a==d∧b==c)(a == d \land b == c)(a==d∧b==c)：一张骨牌可以通过旋转 180 度变为另一张骨牌。

目标是计算在所有骨牌中，有多少对骨牌满足上述等价条件。

测试样例

  1. 输入：dominoes = [[1, 2], [2, 1], [3, 4], [5, 6]]
    输出：1（等价对为 [1,2][1, 2][1,2] 和 [2,1][2, 1][2,1]）
  2. 输入：dominoes = [[1, 2], [2, 1], [1, 2], [2, 1]]
    输出：6（等价对为所有 [1,2][1, 2][1,2] 和 [2,1][2, 1][2,1] 的组合）
  3. 输入：dominoes = [[3, 3], [3, 3], [3, 3], [3, 3]]
    输出：6（等价对为所有 [3,3][3, 3][3,3] 的组合）

核心分析与解题思路

1. 标准化骨牌表示

每张骨牌可以旋转 180 度得到等价表示，因此可以将骨牌的两个数字排序后标准化为唯一形式。例如：

  • [1,2][1, 2][1,2] 和 [2,1][2, 1][2,1] 都可以标准化为 (1,2)(1, 2)(1,2)；
  • [3,3][3, 3][3,3] 本身即是标准化形式。

标准化可以通过以下方式实现：

  • 对每张骨牌的两个数字取 min(a, b) 和 max(a, b)，保证每张骨牌的表示唯一。

2. 使用哈希表统计骨牌数量

标准化后，问题可以转化为统计每种骨牌出现的次数。例如：

  • 对于骨牌集合 [[1,2],[2,1],[1,2],[2,1]][[1, 2], [2, 1], [1, 2], [2, 1]][[1,2],[2,1],[1,2],[2,1]]，标准化后为 [(1,2),(1,2),(1,2),(1,2)][(1, 2), (1, 2), (1, 2), (1, 2)][(1,2),(1,2),(1,2),(1,2)]，其频率为 {(1,2):4}{(1, 2): 4}{(1,2):4}。

3. 计算等价对数

对于每种骨牌，其等价对数可以通过组合公式计算：

  • 若某种骨牌出现 nnn 次，则其等价对数为 (n2)=n(n−1)2\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}(2n​)=2n(n−1)​。

例如：

  • [(1,2),(1,2),(1,2),(1,2)][(1, 2), (1, 2), (1, 2), (1, 2)][(1,2),(1,2),(1,2),(1,2)] 的等价对数为 666： (42)=4×32=6\binom{4}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6(24​)=24×3​=6

代码实现与详细解析

以下是该问题的 Python 代码实现，并结合注释进行详细解析：

from collections import defaultdict

def solution(dominoes: list) -> int:
    # 用于存储标准化骨牌的计数
    count = defaultdict(int)
    
    # 遍历每个骨牌，将其标准化并更新计数
    for domino in dominoes:
        # 标准化每个骨牌
        a, b = min(domino), max(domino)
        count[(a, b)] += 1
    
    # 计算等价骨牌的对数
    result = 0
    for key in count:
        n = count[key]
        if n > 1:
            # 如果有 n 张相同的骨牌，组合数是 n * (n - 1) / 2
            result += n * (n - 1) // 2
    
    return result

代码详解

  1. 标准化骨牌

    a, b = min(domino), max(domino)

    • 通过 min 和 max 确保骨牌始终以小数在前，大数在后。例如：

      • 输入 [2, 1] 和 [1, 2] 都会被标准化为 (1, 2)。

  2. 统计骨牌频率

    count = defaultdict(int)
count[(a, b)] += 1
    • 使用哈希表记录每种骨牌的出现次数。默认值为 0，每次遇到相同骨牌时加 1。

  3. 计算等价对数

    result += n * (n - 1) // 2
    • 根据组合公式 (n2)\binom{n}{2}(2n​)，计算每种骨牌的等价对数，并累加到 result 中。

复杂度分析

  1. 时间复杂度

    • 遍历骨牌列表的时间复杂度为 O(n)O(n)O(n)，其中 nnn 是骨牌的总数。
    • 计算组合数时，仅需遍历哈希表中的键，数量远小于 nnn。
    • 总时间复杂度为 O(n)O(n)O(n)。

  2. 空间复杂度

    • 使用哈希表存储标准化骨牌的频率，空间复杂度为 O(k)O(k)O(k)，其中 kkk 是骨牌种类数。

AI刷题工具的作用与启发

在本次刷题实践中，AI刷题工具通过其特有功能显著提升了我的学习效率：

1. 精选真题功能

  • 该问题结合了哈希表和组合数学，是一个高频算法题目。
  • AI工具通过推荐类似问题，如“数组中两数和”或“等价字符串问题”，帮助我巩固了哈希表与组合的核心思想。

2. 即时反馈与代码优化

  • 提交代码后，AI工具通过测试样例验证代码正确性，并指出边界条件（如空列表或重复骨牌）的处理细节。
  • 工具还建议优化代码结构，例如合并统计与计算逻辑，提升可读性。

3. 交互式调试

  • 工具支持逐步调试，帮助我检查每步操作的中间结果。例如：

    • 验证标准化过程是否正确；
    • 检查哈希表的频率统计是否符合预期。

4. 知识点拓展

  • 工具不仅局限于当前题目，还提供了相关知识点的扩展阅读：

    • 哈希表在大数据去重中的应用；
    • 组合数学在概率论中的实际案例。

个人思考与收获

通过本次刷题实践，我不仅掌握了哈希表与组合公式的应用，还深刻体会到算法设计中的抽象思想：

  1. 数据结构的灵活应用

    • 通过哈希表存储骨牌频率，有效减少了重复计算，提升了算法效率。
    • 这种方法可推广至其他问题，如统计数组中相同元素的组合数。

  2. 算法的数学本质

    • 等价对数的计算本质上是组合数学的应用，这启发我在其他算法设计中思考数学公式的潜在价值。

  3. AI工具的学习助力

    • 精选真题功能帮助我快速聚焦高频考点，而即时反馈与调试功能则让我在学习中少走弯路。
    • 工具还引导我从问题本身扩展到更多实际场景，激发了进一步探索的兴趣。

结论与展望

通过本次刷题实践，我深刻体会到AI刷题工具在学习中的重要作用。借助精选真题和实时反馈功能，我不仅快速掌握了解题技巧，还培养了抽象问题的思维能力。未来，随着AI技术的不断发展，这些工具将在个性化学习路径、深度反馈与知识拓展方面发挥更大价值，为学习者提供更加高效的学习体验。

对于学习者而言，充分利用这些工具，不仅能解决具体问题，还能构建更加系统的知识体系。这不仅是算法学习的关键，更是解决实际问题的核心能力。

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