理想火车站定位 | 豆包MarsCode AI刷题
在城市规划中，确定公共设施的位置是一个极具挑战性的任务。小F作为市长，希望在A市新建一座火车站，以方便市民的日常出行。城市街道的布局呈网格状，因此，合理选择火车站的位置以最小化市民的出行距离显得尤为重要。本文将围绕这一问题进行详细分析，深入讲解相关的算法应用，同时提供我的学习心得与知识总结。
题目解析
问题背景
考虑一个有n个市民和m个备选火车站位置的城市。市民的坐标和可建设火车站位置的坐标均以二维数组的形式给出。我们的目标是选择一个备选火车站位置，使得所有市民到达火车站的总曼哈顿距离最小。曼哈顿距离是在城市网格中常用的距离度量，它计算的是两个点在水平和垂直方向的距离之和。
曼哈顿距离计算
设有两个点 ( A(x_1, y_1) ) 和 ( B(x_2, y_2) )，其曼哈顿距离定义为： [ d(A, B) = |x_1 - x_2| + |y_1 - y_2| ] 这个距离的直观理解是沿着城市的街道走，从一个点走到另一个点时需要的步数。
输入与输出
给定以下输入：
n: 市民的总人数。m: 可建设火车站的备选位置数。citizens: 一个二维数组，包含每位市民的坐标[[x1, y1], [x2, y2], ...]。locations: 一个二维数组，包含所有备选的火车站位置[[x1, y1], [x2, y2], ...]。
输出应该是一个数组，表示选择的最佳火车站位置的坐标。
解题步骤
-
遍历所有备选位置： 对于每个备选火车站，计算所有市民到该位置的总曼哈顿距离。
-
计算每个位置的总距离： 对于每个备选位置，将所有市民到该位置的曼哈顿距离相加，得到总距离。
-
选择最小距离的火车站： 找到最小的总距离并记录对应的位置。
代码实现
下面是实现这些步骤的代码：
def solution(n, m, citizens, locations):
min_distance = float('inf') # 初始化最小距离为无穷大
best_location = [-1, -1] # 初始化最佳位置
for loc in locations: # 遍历所有备选位置
total_distance = 0 # 当前备选位置的总距离
for citizen in citizens: # 遍历所有市民
distance = abs(citizen[0] - loc[0]) + abs(citizen[1] - loc[1]) # 计算曼哈顿距离
total_distance += distance # 累加总距离
# 若当前位置的总距离小于已记录的最小距离，进行更新
if total_distance < min_distance:
min_distance = total_distance # 更新最小距离
best_location = loc # 更新最佳位置
return best_location # 返回最佳位置
if __name__ == "__main__":
citizens1 = [[-1, -1], [-1, 1], [1, -1], [1, 1]]
locations1 = [[3, 2], [1, 0], [0, 0]]
print(solution(4, 3, citizens1, locations1)) # 输出: [1, 0]
代码详解
-
初始化变量：
min_distance = float('inf') best_location = [-1, -1]初始化最小距离为无穷大，以便后续比较。
best_location用于存储最后确定的最佳火车站位置。 -
外层循环遍历备选位置：
for loc in locations: total_distance = 0对于每个备选火车站位置，初始化总距离为0。
-
内层循环遍历市民：
for citizen in citizens: distance = abs(citizen[0] - loc[0]) + abs(citizen[1] - loc[1]) total_distance += distance计算每个市民到当前火车站位置的曼哈顿距离，并将其加到
total_distance中。 -
更新逻辑：
if total_distance < min_distance: min_distance = total_distance best_location = loc如果当前备选位置的总距离小于已知的最小距离，则更新
min_distance和best_location。 -
最终输出：
return best_location返回找到的最佳火车站位置。
知识总结
在刷题的过程中，我们不仅遇到了简单的代码实现问题，还接触到了许多重要的计算机科学与数学概念：
1. 曼哈顿距离与欧几里得距离
曼哈顿距离和欧几里得距离是两种常见的距离度量方法。曼哈顿距离适合于网格状布局，常用于城市交通问题；而欧几里得距离则适用于连续空间。对于城市交通优化问题，曼哈顿距离更为常用。
2. 复杂度分析
此算法的时间复杂度为 (O(n \cdot m))，其中 (n) 是市民的数量，(m) 是火车站位置的数量。每次选择一个备选位置，需要遍历所有市民来计算总距离。因此，在数据规模较大时，可以考虑优化算法，例如使用动态规划或分治法来减少时间复杂度。
3. 应用场景
此题的算法可以扩展到许多其他场景，如：
- 交通网络优化：在交通拥堵情况下，选择适合的位置设置交叉口以减少车流量。
- 物流配送：在建立配送中心中，选择中心位置以降低运输成本。
- 公共设施规划：在城市中选择公共设施（如学校、医院）的最佳位置，使得覆盖的居民数量最大。
4. 综合学习总结
通过本次刷题，我对算法思维和编程能力有了更深刻的理解：
- 重要性：理解问题重要性和背景有助于更好地设计解决方案。
- 代码结构：良好的代码结构和注释有助于未来的代码维护和阅读理解。
- 实践与反思：在实践中总结经验教训，尤其是错题分析，可以有效提高自己的解题能力。
扩展应用
以下将介绍一些与曼哈顿距离相关的更复杂问题和算法，拓展我们的知识面。
1. K-最近邻算法（K-NN）
K-NN是一种常用的非参数算法，广泛应用于分类和回归分析。它基于实例的距离进行预测。当使用曼哈顿距离时，K-NN能够有效判断测试点的分类，尤其是在城市规划中，如何根据地理位置选择样本进行预测。
2. 聚类分析中的距离度量
在聚类分析中，可以使用曼哈顿距离进行数据点的聚类，特别是当数据呈现于网格状或低维度时。K-Means聚类算法可以使用不同的距离度量进行效果对比。
3. 最小生成树
在图论中，最小生成树问题可以利用曼哈顿距离来测量图中边的权重，适用于城市道路网络和通信网络布局优化。
4. 路径规划算法
在自动驾驶或者游戏开发中，路径规划算法（如A*算法）通常使用曼哈顿距离估算启发式搜索的成本，以优化路径寻找。
通过这些扩展应用，我们的学习不仅限于单一问题的解法，而是能够将这些算法与不同的现实场景和研究领域相结合，提升综合能力和应用范围。
总结
在本文中，我们详细分析了"理想火车站定位"的问题，深入探讨了曼哈顿距离的计算方法、具体的算法实现，并总结了相关的知识点及其广泛应用。通过在豆包MarsCode AI的练习，我不仅增强了编程能力，还提升了理解和分析复杂问题的能力，为未来的学习和发展打下了坚实的基础。
希望这些经验和总结能对你们在算法学习和工程实践中有所帮助！
