最大矩形面积问题 | 豆包MarsCode AI刷题这道题目要求计算给定数组中任意k个相邻元素能形成的最大矩形面积，面积

问题简化

这道题目要求我们求得在给定的数组中，任意k个相邻元素所能形成的最大的矩形面积，其中，矩形面积是通过最小高度乘以这些元素个数来计算的，即 $R(k) = k × min ( h[i] , h[i+1] , ... , h[i+k−1] )$ 。

关键点：

在数组中，选取任意连续的k个元素。
对于每个选定的k个相邻元素，计算其矩形面积，即这k个元素的最小值乘以k。
找出所有可能的k个元素中的最大矩形面积。

解题思路

对于这道题我们很容易想到使用暴力枚举来解题，即——对每个可能的k，枚举所有可能的连续子数组，计算每个子数组的最小值，然后计算面积。这种思路非常简单且直观，但这种办法的时间复杂度为 $O(n2)$ ，如果问题的规模提高，这种办法的可行度很低。

因此，我们需要一个新的解法。根据问题关键点，我们可以知道我们要对连续子数组的最小值进行计算，并且每个子数组的计算可能会重复很多次，由此，我们可以尝试使用栈来加速这个过程。

使用栈来优化寻找每个元素的最大矩形面积：

单调栈：通过单调栈来维护每个元素的前后限制，从而避免重复计算每个元素的最小值。
- 左边界：使用栈来记录每个元素左侧第一个比它小的位置
- 右边界：使用栈来记录每个元素右侧第一个比它小的位置

通过单调栈，就可以在 $O(n)$ 时间内解决掉这个最大矩形面积问题。

代码实现

以下是python的具体实现

1. 初始化

stack = []
max_area = 0

left = [0] * n
right = [0] * n

stack: 用来辅助计算每个元素的左边界和右边界。
max_area: 记录最大矩形面积，初始值为 0。
left: 一个长度为 n 的数组，用来存储每个元素的左边界，即比该元素小的第一个位置。
right: 一个长度为 n 的数组，用来存储每个元素的右边界，即比该元素小的第一个位置。

2. 计算每个元素的左边界

for i in range(n):
    while stack and array[stack[-1]] >= array[i]:
        stack.pop()
    left[i] = stack[-1] if stack else -1
    stack.append(i)

遍历数组：从左到右遍历数组，找到每个元素的左边界。
栈的作用：
- while stack and array[stack[-1]] >= array[i]: 这个循环的作用是，当栈中的元素比当前元素大或相等时，出栈。因为我们需要找到第一个比当前元素小的元素。
- left[i] = stack[-1] if stack else -1: 如果栈不为空，则栈顶的元素就是当前元素的左边界；如果栈为空，说明当前元素的左边没有比它小的元素，那么左边界为 -1。
- stack.append(i): 把当前元素的索引入栈，待后续元素的左边界需要参考它。

3. 计算每个元素的右边界

stack.clear()

for i in range(n - 1, -1, -1):
    while stack and array[stack[-1]] > array[i]:
        stack.pop()
    right[i] = stack[-1] if stack else n
    stack.append(i)

遍历数组：这次从右到左遍历数组，计算每个元素的右边界。
栈的作用：
- while stack and array[stack[-1]] > array[i]: 这个循环的作用是，当栈中的元素大于当前元素时，出栈。因为我们需要找到第一个比当前元素小的元素。
- right[i] = stack[-1] if stack else n: 如果栈不为空，则栈顶的元素就是当前元素的右边界；如果栈为空，说明当前元素的右边没有比它小的元素，那么右边界为 n（即数组的长度，代表到数组的末尾）。
- stack.append(i): 把当前元素的索引入栈，待后续元素的右边界需要参考它。

4. 计算最大矩形面积

for i in range(n):
    k = right[i] - left[i] - 1
    current_area = k * array[i]
    max_area = max(max_area, current_area)

计算宽度：对于每个元素 i，它的宽度 k 是由右边界 right[i] 和左边界 left[i] 之间的距离来决定的。宽度公式是 right[i] - left[i] - 1。
- right[i] 是第一个比 array[i] 小的元素的索引。
- left[i] 是第一个比 array[i] 小的元素的索引。
- 宽度是右边界减去左边界再减去 1，因为左右边界的索引本身不包括在矩形内。
计算面积：面积 current_area 是宽度 k 乘以高度 array[i]。
更新最大面积：更新 max_area 为当前面积与已有的最大面积之间的较大值。

5. 返回最大矩形面积

return max_area

最后，返回 max_area，即最大矩形面积。

总结

这道题不仅锻炼了我对栈的运用（例如，在遇到处理“区间”和“边界”问题时，栈就非常好用了），还教我如何从数据结构的角度来优化解题策略。利用 单调栈 来维护每个元素的“左边界”和“右边界”，转变了我从“穷举所有可能”到“利用数据结构精确高效查找边界”的思路。由此可见，我们要学会分析问题的性质，只有这样，才能更好地解决未来可能遇到的大规模数据和更复杂的算法问题。

补充

什么是单调栈

单调栈（Monotone Stack） ：这是一种特殊的栈，它在栈的后进先出规则上，还要求从栈顶到栈底的元素是单调递增（或者单调递减） 的栈，就是单调栈。

单调递增栈： 满足从栈顶到栈底的元素是单调递增的栈（只有比栈顶元素小的元素才能直接入栈，否则需要先将栈中比当前元素小的元素出栈，再将当前元素入栈）

单调递减栈： 满足从栈顶到栈底的元素是单调递减的栈（只有比栈顶元素大的元素才能直接入栈，否则需要先将栈中比当前元素大的元素出栈，再将当前元素入栈）