数组元素之和最小化 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件：

1. 数组中的所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 k。
3. 数组元素之和尽可能小。

任务是输出该数组元素之和的最小值。

测试样例

样例1：

输入：n = 3 ,k = 1
输出：6

样例2：

输入：n = 2 ,k = 2
输出：6

样例3：

输入：n = 4 ,k = 3
输出：30

题目要求

根据题目我们需要构造一个数组，使得：

• 数组中有 n 个不同的元素。
• 这些元素的最大公约数为 k。
• 数组元素之和最小。

解题思路

关键点

1. 最大公约数为k：这意味着数组中的每一个元素都必须是 k 的倍数。
2. 元素两两不同：为了保证所有元素不同，我们可以选择 k 的不同倍数。
3. 元素之和最小：为了让数组元素之和最小，我们应该选择最小的 k 的倍数。

具体步骤

1. 生成 k 的倍数：选择 k 的前 n 个倍数，即 k,2k,3k,…,nk。
2. 计算元素之和：将这些倍数相加，得到数组元素之和。

代码解析

代码

def solution(n: int, k: int) -> int:
    # 生成 k 的前 n 个倍数
    rlist = [x * k for x in range(1, n + 1)]
    # 返回数组元素之和
    return sum(rlist)

代码详解

1. 生成 k 的倍数：

   rlist = [x * k for x in range(1, n + 1)]
   

   这行代码使用列表推导式生成了一个包含 k 的前 n 个倍数的列表。range(1, n + 1) 生成从 1 到 n 的整数，每个整数乘以 k 得到相应的倍数。

2. 计算数组元素之和：

   return sum(rlist)
   

   这行代码计算生成的数组 rlist 中所有元素的和，并返回该和，即为问题的答案。

时间复杂度为 O(1) 的解法

解法思路

为了构造一个满足条件的数组，我们选择 k 的前 n 个倍数，即 k,2k,3k,…,nk。这些元素的和可以直接通过等差数列求和公式直接计算出来，而不需要生成具体的数组，因此可以将时间复杂度降低至 O(1)。

数学公式

1. 等差数列求和公式： 等差数列的前 nn 项和公式为：

其中，a 是首项，l 是第 n 项。

2. 特殊情况： 对于 k 的前 n 个倍数 k,2k,3k,…,nk：

   • 首项 a=k
   • 第 n 项 l=nk
   • 项数 n

   代入等差数列求和公式：

代码实现

因此，以下题解可以直接求出问题答案，时间和空间复杂度均为 O(1)。

def solution(n: int, k: int) -> int:
    return n * (n + 1) // 2 * k