这道题的题目为：好数组的总数，以下为描述：
给定一个包含 N 个整数的数组 A，其中每个元素编号从 0 到 N-1，并且一个整数 K。数组 A 的每个元素都在 1 到 K 的范围内。 定义一个长度为 N 的数组 B 为好数组，如果它满足以下条件： 每个元素 B[i] 都在 1 到 K 的范围内。 对于所有从 0 到 N-2 的索引 i，满足 B[i] + B[i+1] = A[i] + A[i+1]。 你的任务是计算满足上述条件的好数组的总数。
解题思路：
这个问题可以转化为一个动态规划问题。我们需要构建一个数组 B，使得 B[i] + B[i+1] = A[i] + A[i+1] 对于所有的 i 成立。由于 B 的每个元素都在 1 到 K 的范围内，我们可以尝试通过遍历所有可能的 B[0] 值来构造数组 B。首先，我们注意到 B[0] 可以取 1 到 K 中的任何一个值，而一旦 B[0] 确定了，根据等式 B[i] + B[i+1] = A[i] + A[i+1]，B[1] 就可以根据 A[0] 和 B[0] 计算出来。同理，B[2] 可以根据 B[1] 和 A[1] 计算，以此类推，直到整个数组 B 构造完成。但是，我们需要注意的是，每一步计算出的 B[i] 必须满足 1 ≤ B[i] ≤ K，否则该路径是无效的。因此，我们需要对每一步计算出来的 B[i] 进行合法性检查。
画图大概是这样：
假设 N = 3, K = 2, A = [1, 2, 1]：
如果 B[0] = 1，那么 B[1] = A[0] + A[1] - B[0] = 2，B[2] = A[1] + A[2] - B[1] = 1，形成一个合法的数组 [1, 2, 1]。如果 B[0] = 2，那么 B[1] = A[0] + A[1] - B[0] = 1，B[2] = A[1] + A[2] - B[1] = 2，形成另一个合法的数组 [2, 1, 2]。
因此，总共有两个合法的数组。
用Java代码进行分析：
public int countGoodArrays(int N, int K, int[] A) {
int count = 0;
for (int start = 1; start <= K; start++) {
// 尝试每一个可能的 B[0]
if (isValid(N, K, A, start)) {
count++;
}
}
return count;
}
private boolean isValid(int N, int K, int[] A, int B0)
{ int[] B = new int[N];
B[0] = B0;
for (int i = 0; i < N - 1; i++) {
B[i + 1] = A[i] + A[i + 1] - B[i];
if (B[i + 1] < 1 || B[i + 1] > K) {
return false; // 如果 B[i+1] 超出了范围，则此路径无效
}
}
return true;
}
知识总结
通过这道题目的解决过程，我们可以学到：
- 动态规划：虽然这道题可以通过简单的循环解决，但它展示了动态规划的思想——即通过解决子问题来解决整个问题。
- 边界条件处理：在计算过程中，对边界条件的处理至关重要，特别是当涉及到数组下标或数值范围时。
- 效率考虑：尽管本题的解决方案简单直接，但在面对更大规模的数据集时，考虑算法的时间复杂度和空间复杂度是非常重要的。
学习计划
- 制定刷题计划：根据自己的基础水平，合理安排每天需要解决的问题数量。初期可以选择一些基础题型，随着技能的提升逐渐挑战更难的题目。
- 利用错题：对于做错的题目，不仅要理解正确答案，还要深入分析错误原因，避免同样的错误再次发生。
- 定期复习：定期回顾之前解决过的问题，可以帮助巩固记忆，同时也能发现新的解题技巧。
工具运用
- AI 刷题功能：利用豆包MarsCode AI刷题功能可以获取个性化的题目推荐，帮助快速找到适合自己水平的练习题。
- 结合其他资源：除了使用AI刷题工具外，还可以结合在线课程、书籍等资源，多角度学习，提高学习效率。
- 社区交流：加入技术社区，与他人讨论解题思路，不仅可以拓宽视野，还能激发新的灵感。
