前言
本人算法能力较差，且第二次写算法题解，请多多指教
问题描述
小F计划从青海湖出发，前往一个遥远的景点X进行旅游。景点X可能是“敦煌”或“月牙泉”，线路的路径是唯一的。由于油价的不断上涨，小F希望尽量减少行程中的燃油成本。车辆的油箱容量为400L，在起始点租车时，车内剩余油量为 200L。每行驶 1km 消耗 1L 油。沿途设有多个加油站，小F可以在这些加油站补充燃油；此外，到达目标景点X还车的时候，需要保证车内剩余的油至少有 200L。
小F需要你帮助他计算，如果合理规划加油站的加油顺序和数量，最小化从青海湖到景点X的旅行成本（元）。
输入：
- distance：从青海湖到景点X的总距离（km），距离最远不超过 10000 km。
- n：沿途加油站的数量 (1 <= n <= 100)
- gas_stations：每个加油站的信息，包含两个非负整数 [加油站距离起始点的距离（km）, 该加油站的油价（元/L）]
输出：
- 最小化从青海湖到景点X的旅行成本（元）。如果无法到达景点X，或者到达景点X还车时油料剩余不足 200L，则需要返回
-1告诉小F这是不可能的任务。
测试样例
样例1：
输入：
distance = 500, n = 4, gas_stations = [[100, 1], [200, 30], [400, 40], [300, 20]]
输出：4300
样例2：
输入：
distance = 1000, n = 3, gas_stations = [[300, 25], [600, 35], [900, 5]]
输出：-1
样例3：
输入：
distance = 200, n = 2, gas_stations = [[100, 50], [150, 45]]
输出：9000
样例4：
输入：
distance = 700, n = 5, gas_stations = [[100, 10], [200, 20], [300, 30], [400, 40], [600, 15]]
输出：9500
样例5：
输入：
distance = 50, n = 1, gas_stations = [[25, 100]]
输出：5000
动态规划
什么是动态规划
动态规划是一种通过将问题分解为子问题，并通过记忆化存储（避免重复计算）来优化求解过程的算法思想。它主要适用于解决具有最优子结构和重叠子问题的优化问题。
核心在于：
- 将复杂问题分解为更小的子问题，通过子问题的解来构造原问题的解。
- 记忆化存储每个子问题的解，避免重复计算，提高效率。
为什么选择动态规划
1. 问题的多阶段性
- 小F从起点出发到终点，需要经过多个加油站，每个加油站的油价不同，行驶到下一个加油站的油量需求也不同。
- 在每一个加油站，小F需要决策是否加油，以及加多少油，以尽可能减少燃油成本。
- 每次的决策都会影响后续的状态（如剩余油量、到达下一站的可能性和花费）。
2. 状态的依赖性
- 当前加油站的状态（如油量和总花费）依赖于前一个加油站的状态。
- 在到达某个加油站时，有多种可能的油量状态，而这些状态会直接影响小F是否能顺利到达终点。
3. 问题的最优子结构
- 最优子结构是动态规划的一个重要特性，指问题的最优解可以通过子问题的最优解递推得到。
- 本题中，小F到达某一加油站时的最小花费，只依赖于上一个加油站的状态（剩余油量和花费）。换句话说，到达某一站的最优解，能够通过之前各站的最优解递推计算出来。
4. 状态的重复性
- 小F在行驶过程中，可能以相同的剩余油量、多种路径到达同一个加油站，但此时只需要记录最小花费的路径，忽略次优解。
- 如果用暴力法计算，可能会重复计算大量相似的状态，导致计算复杂度过高。
- 动态规划通过状态表记录每个状态的最优解，从而避免了不必要的重复计算。
算法步骤
1. 初始化问题条件：
- 确定油箱容量（400L）和初始油量（200L）。
- 确保每段路程可以在油箱的最大容量下行驶。
2. 动态规划定义：
- 定义
dp[i][j]表示到达第 i 个加油站时，油箱剩余 j 升油的最小成本。
3. 转移方程：
-
如果从前一个加油站 kkk 行驶到当前站 iii 时，油量足够，且可通过加油覆盖需要的油量：
dp[i][j]=min(dp[i][j],dp[k][剩余油量]+加油花费)
4. 边界条件：
- 初始状态：
dp[0][200] = 0，表示从起点出发，初始油量为200L时的花费为0。
5. 判断终点条件：
- 确保终点时油量满足要求（至少200L）。
- 如果无法满足，则返回
-1。
代码
import sys
def solution(distance, n, gasStations):
maxCapacity = 400 # 油箱最大容量
inf = sys.maxsize # 表示一个非常大的值，用于初始化不可达的状态
# 按照加油站距离从起点的远近进行升序排序
gasStations.sort(key=lambda x: x[0])
# 计算每两个加油站之间的距离
# dis[i] 表示从加油站 i 到加油站 i+1 的距离
dis = [gasStations[0][0]] # 起点到第一个加油站的距离
for i in range(1, len(gasStations)):
dis.append(gasStations[i][0] - gasStations[i - 1][0])
# 动态规划数组 dp[i][j]
# 表示到达第 i 个加油站时，油箱剩余 j 升油的最小花费
dp = [[inf] * (maxCapacity + 1) for _ in range(n + 1)]
dp[0][200] = 0 # 初始状态：起点油箱容量为 200L，花费为 0
# 动态规划计算每个状态的最小花费
for i in range(1, n + 1): # 遍历每个加油站（从第 1 个到第 n 个）
for currentFuel in range(maxCapacity + 1): # 当前站剩余油量
for previousFuel in range(maxCapacity + 1): # 前一站剩余油量
# 前往当前站所需油量
fuelNeeded = dis[i - 1]
# 判断从上一个加油站到当前站是否可行
if previousFuel >= fuelNeeded and currentFuel >= 0:
# 计算从上一个站补充到当前油量所需的花费
fuelToRefill = currentFuel + fuelNeeded - previousFuel
if fuelToRefill >= 0: # 补充的油量不能为负数
# 更新到当前站的最小花费
dp[i][currentFuel] = min(dp[i][currentFuel], dp[i - 1][previousFuel] + fuelToRefill * gasStations[i - 1][1])
# 判断是否能够到达终点
# remaining_fuel 表示到达终点时需要的剩余油量
remaining_fuel = 200 + distance - gasStations[n - 1][0]
if remaining_fuel > maxCapacity or remaining_fuel < 0:
# 无法满足终点要求（油量不足或超过油箱容量）
return -1
# 从满足终点剩余油量的状态中，找到最小的花费
min_cost = inf
for fuel in range(remaining_fuel, maxCapacity + 1): # 枚举所有满足条件的油量
min_cost = min(min_cost, dp[n][fuel])
# 如果结果仍为 inf，说明无法到达终点
return -1 if min_cost == inf else min_cost
豆包MarsCode AI 刷题的使用
在本题中，我用它来检查代码，以分析代码过程以及结果是否符合。
