小C的糖果分配问题 | 豆包MarsCode AI刷题

题解：小C的糖果分配问题

题目描述

小C有一堆糖果，总共有 n 颗。她需要将糖果分给小朋友们，每个小朋友的糖果数量必须在 l 到 r 之间。小C希望知道在满足条件的前提下：

1. 最少可以分给多少个小朋友。
2. 最多可以分给多少个小朋友。
3. 如果无法正好分完糖果，返回 -1。

解题思路

要解决这个问题，首先我们需要理解 完全分配 和 人数限制 的含义。

1. 完全分配：我们要求糖果能够精确地分给若干个小朋友，即每个小朋友获得的糖果数量和为总糖果数 n。
2. 人数限制：每个小朋友的糖果数量必须满足在 l 到 r 的范围内。换句话说，对于每个小朋友分配糖果的数量，必须是介于 l 和 r 之间的一个整数。

我们希望通过最少和最多的人数来分配糖果，同时保证糖果数能够被完全分配。

核心思路

1. 最少人数：为了使分配的人数尽量少，每个小朋友应该分配尽可能多的糖果，即每个人最多分 r 个糖果。这样最少的人数 min_people 就是总糖果数 n 除以 r，然后向上取整。公式为： [ \text{min_people} = \left\lceil \frac{n}{r} \right\rceil ] 其中向上取整可以通过 min_people = (n + r - 1) / r 来实现。

2. 最多人数：为了使分配的人数尽量多，每个小朋友应该分配尽可能少的糖果，即每个人最少分 l 个糖果。这样最多的人数 max_people 就是总糖果数 n 除以 l，然后向下取整。公式为： [ \text{max_people} = \left\lfloor \frac{n}{l} \right\rfloor ]

3. 检查合理性：首先检查分配是否可能。我们可以用以下两个条件来验证：

   • 如果最少的人数 min_people 每个人分 r 个糖果，总糖果数应该不小于 n。即：min_people * r >= n。
   • 如果最多的人数 max_people 每个人分 l 个糖果，总糖果数应该不大于 n。即：max_people * l <= n。

   如果以上条件不成立，说明无法正好分配糖果，应返回 -1。

4. 进一步验证：对于从 min_people 到 max_people 之间的每一个人数，检查是否可以用 l 和 r 之间的糖果数量恰好分配所有糖果。可以通过以下步骤来进行验证：

   • 计算 people 个小朋友，每个小朋友分配 l 个糖果后剩余的糖果数 remainder = n - people * l。
   • 然后，检查剩余的糖果是否能通过给每个小朋友分配多余的糖果（最多每人 r-l 个）来完成。即：remainder <= people * (r - l)。

代码实现

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;

vector<int> solution(int n, int l, int r) {
    // 计算最少人数和最多人数
    int min_people = (n + r - 1) / r; // ceil(n / r)
    int max_people = n / l;           // floor(n / l)

    // 检查人数范围是否合理
    if (min_people * r < n || max_people * l > n) {
        return {-1};
    }

    // 校验每个可能人数是否可以正好分配
    for (int people = min_people; people <= max_people; ++people) {
        int remainder = n - people * l;
        if (remainder >= 0 && remainder <= people * (r - l)) {
            return {min_people, max_people};
        }
    }

    return {-1};
}

int main() {
    int n = 10, l = 2, r = 3;
    vector<int> result = solution(n, l, r);
    if (result[0] == -1) {
        cout << "-1" << endl;
    } else {
        cout << result[0] << " " << result[1] << endl;
    }
    return 0;
}

复杂度分析

时间复杂度

• 枚举人数范围 min_people 到 max_people。
• 最多遍历 max_people−min_people+1 次。
• 时间复杂度为 O(n/l)。

空间复杂度

• 仅使用常数空间。
• 空间复杂度为 O(1)。

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测试样例

输入	输出	解释
n=10,l=2,r=3n = 10, l = 2, r = 3n=10,l=2,r=3	[4,5][4, 5][4,5]	可分为 4 人或 5 人，糖果可以正好分配。
n=7,l=3,r=5n = 7, l = 3, r = 5n=7,l=3,r=5	[2,2][2, 2][2,2]	只能分为 2 人，每人 3 或 4 个糖果。
n=8,l=1,r=4n = 8, l = 1, r = 4n=8,l=1,r=4	[2,8][2, 8][2,8]	可以分给 2 至 8 人，每人 1 至 4 个糖果。
n=6,l=2,r=3n = 6, l = 2, r = 3n=6,l=2,r=3	[−1][-1][−1]	无法正好分配糖果，返回 -1。

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总结

这道题的核心在于：

1. 缩小解空间：通过计算最少人数和最多人数快速界定可能范围。
2. 校验可行性：验证糖果能否正好分配。
3. 时间效率高：算法在合理范围内枚举，能快速得出解答。