补给站最优花费问题 | 豆包MarsCode AI刷题

解题思路

1. 问题分析

小U需要每天一份食物，总共需要 M 天，并通过一些补给站购买食物。每个补给站位于特定的天数，且每份食物的价格各不相同。目的是规划购买策略，使得总花费最小。这是一个典型的最优子结构问题，动态规划（DP）是最优选择

2. 动态规划的思路

设 dp[i] 表示到第 i 天所需的最小花费：

1. 初始状态：

   • dp[0] = 0，表示第0天的花费为0

2. 状态转移方程：

   • 从 j 天购买若干天食物至 i 天，所需费用为 dp[j] + price[j] * (i - j)
   • 状态转移公式为： dp[i]=min⁡(dp[i],dp[j]+price[j]×(i−j))(j<i 且补给站存在)

3. 结果：

   • 返回 dp[M]，即完成旅行所需的最小花费。

代码实现

def solution(m: int, n: int, p: list[list[int]]) -> int:
    # 初始化动态规划数组 dp，每天的花费初始化为无穷大
    dp = [float('inf')] * (m + 1)
    dp[0] = 0  # 第0天的费用为0
    
    # 初始化价格数组 price，用于存储每一天的食物价格
    price = [0] * (m + 1)
    
    # 填充补给站的价格信息到 price 数组
    for A, B in p:
        price[A] = B  # 第 A 天的食物价格为 B
    
    # 动态规划：计算从第 1 天到第 M 天的最小花费
    for i in range(1, m + 1):
        for j in range(i):
            if price[j] > 0:  # 第 j 天有补给站
                # 从第 j 天购买若干天食物至第 i 天
                dp[i] = min(dp[i], dp[j] + price[j] * (i - j))

    # 返回第 M 天的最小花费
    return dp[m]

# 测试用例
if __name__ == "__main__":
    print(solution(5, 4, [[0, 2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]]) == 7)

代码详解

1. 初始化：

   • dp = [float('inf')] * (m + 1)，表示每一天的初始花费设为无穷大
   • dp[0] = 0，因为第0天花费为0

2. 价格数组填充：

   • 遍历 p 数组，将补给站的价格填入 price 数组

3. 动态规划递推：

   • 遍历每一天 i，对于每一天 j：
     • 如果第 j 天有补给站，尝试更新第 i 天的最小花费
     • 转移方程：dp[i] = min(dp[i], dp[j] + price[j] * (i - j))

4. 结果返回：

   • dp[m] 为第 M 天的最小花费

难点分析

1. 价格信息的存储：

   • price 数组需要按天存储价格，确保能够快速访问和计算

2. 动态规划的状态转移：

   • 需要仔细考虑如何从第 j 天购买到第 i 天，保证费用计算正确

3. 边界条件处理：

   • 确保补给站存在 (price[j] > 0) 才能进行购买操作

复杂度分析

1. 时间复杂度：

   • 外层循环：从第1天遍历到第M天，复杂度为 O(M)
   • 内层循环：从第0天到第i天，复杂度为 O(M)
   • 总复杂度：O(M^2)

2. 空间复杂度：

   • 动态规划数组 dp 和价格数组 price，空间复杂度为 O(M)