最大矩形面积问题

题目分析

最大矩形面积问题是一个经典的算法问题，通常涉及在一个由0和1组成的矩阵中找到一个由1组成的最大矩形区域。这个问题可以通过多种方法解决，包括动态规划、单调栈等。以下是对该问题的详细分析和Python代码实现。

问题描述

给定一个由0和1组成的矩阵，要求找到其中由1组成的最大矩形区域的面积。

题目解法

1. 初始化

stack = []
max_area = 0
index = 0

stack：用于存储柱子的索引，确保栈中的柱子高度是单调递增的。
max_area：用于记录当前找到的最大矩形面积。
index：用于遍历数组的索引。

2. 遍历数组

while index < n:
    if not stack or array >= array:
        stack.append(index)
        index += 1
    else:
        top_of_stack = stack.pop()
        area = (array *
                ((index - stack<span class="num-link"><span class="num">-1</span></span> - 1) if stack else index))
        max_area = max(max_area, area)

当栈为空或者当前柱子的高度大于等于栈顶柱子的高度时，将当前柱子的索引压入栈中。
否则，弹出栈顶柱子，并计算以该柱子为最小高度的矩形面积。计算公式为：height * width，其中 width 是当前柱子与栈顶柱子之间的距离。

3. 处理剩余柱子

while stack:
    top_of_stack = stack.pop()
    area = (array *
            ((index - stack<span class="num-link"><span class="num">-1</span></span> - 1) if stack else index))
    max_area = max(max_area, area)

遍历结束后，栈中可能还剩下一些柱子，继续计算这些柱子为最小高度的矩形面积，并更新最大面积。

4. 返回结果

return max_area

返回计算得到的最大矩形面积。

算法原理

该算法的核心思想是利用单调栈来维护一个递增的柱子高度序列，当遇到比栈顶柱子矮的柱子时，弹出栈顶柱子并计算以该柱子为最小高度的矩形面积。这样可以确保在遍历过程中，每次计算矩形面积时，栈中的柱子高度是单调递增的，从而避免了重复计算。

复杂度分析

时间复杂度：O(n)，每个柱子最多被压入和弹出栈一次。
空间复杂度：O(n)，栈的大小最多为n。

示例

对于输入 n = 5, array = <span class="num-link"><span class="num">1</span></span>，算法会计算出最大矩形面积为9。

引用证据

该算法的实现与1中的描述一致，使用了单调栈来维护柱子的高度，并在遍历过程中计算最大矩形面积。
2和3也提供了类似的实现思路，使用了单调栈来解决最大矩形面积问题。

通过以上解析，可以看出该算法在处理直方图最大矩形面积问题时具有高效性和简洁性。

    stack = []
    max_area = 0
    index = 0

    while index < n:
        # If this bar is higher than the bar at stack top, push it to the stack
        if not stack or array[index] >= array[stack[-1]]:
            stack.append(index)
            index += 1
        else:
            # Pop the top
            top_of_stack = stack.pop()
            # Calculate the area with array[top_of_stack] as the smallest (or minimum height) bar
            area = (array[top_of_stack] *
                    ((index - stack[-1] - 1) if stack else index))
            # Update max area, if needed
            max_area = max(max_area, area)

    # Now pop the remaining bars from stack and calculate area
    while stack:
        top_of_stack = stack.pop()
        area = (array[top_of_stack] *
                ((index - stack[-1] - 1) if stack else index))
        max_area = max(max_area, area)

    return max_area


if __name__ == "__main__":
    # Add your test cases here

    print(solution(5, [1, 2, 3, 4, 5]) == 9)