约瑟夫环问题 | 豆包MarsCode AI刷题

约瑟夫环问题详解

问题描述

约瑟夫环(Josephus Problem)是一个著名的数学问题: n个人围成一圈，从第一个人开始报数，报到m的人出列，然后从出列的下一个人重新开始报数，如此反复，直到只剩最后一个人的编号。约瑟夫环问题是一个很经典的算法问题，对于编号存在两种情形:(0,1...,n-1)和(1,2...,n)，对于两种情况求解思路一致，但具体实现上略有区别。

本文介绍两种主要解题思路：一种是使用双端队列直观模拟整个过程的模拟法（时间复杂度O(nk)，空间复杂度O(n)），另一种是通过观察发现问题可以分解为子问题并推导出递推公式f(n,k) = (f(n-1,k) + k) % n的递推法，其中递推法可以用递归（时间O(n)，空间O(n)）或迭代（时间O(n)，空间O(1)）方式实现。文章还特别讨论了从0开始编号和从1开始编号两种情况的区别，并提供了相应的代码实现。

问题分析

基本思路（模拟法）:

模拟整个删除过程是最直觉的想法，一共进行需要n-1轮报数，剩下最后一个人便是答案。通过双端队列很容易实现这个过程，从队头开始报数，前k-1个人依次出队拼接到队尾，而后将第k个人弹出队列，重复这个过程直至只剩下一人。

from collections import deque
def findlast(n: int, k: int) -> int:
       # 使用双端队列
       queue = deque(range(1, n + 1))
       while len(queue) > 1:
           # 将前k-1个数移到队尾
           for _ in range(k - 1):
               queue.append(queue.popleft())
           # 删除第k个数
           queue.popleft()
            
        return queue[0]

模拟一共需要进行n-1轮，每轮进行对队列进行k次操作，总体时间复杂度为O(nk)；空间上仅利用一个长度为n的队列，空间复杂度为O(n)。

对于输入n和k都很大时，时间复杂度接近O(n^2)，情况会存在超时。进一步观察模拟过程可以发现这个问题是可以进行子问题分解，通过递归或者迭代的方式来解决，关键是要找出递推关系。

进阶思路:

考虑10个人报数3的情况，最初的序列为

通过第一次报数后,2被删除，结果变为

由于是围成一个环，序列本质是首尾相接的，可以写成

现在我们接着观察9个人的情况，最初的序列为

发现如果在这个序列的基础上+3后对10取余，结果与10个人第一次报完数的序列一致

那么接着报数，最后两种情况剩余的编号肯定是一致的。由此可知9个人报数的结果通过处理，可以得到10个人报数的结果。

这时候我们可以写出递推式，先定义n个人报数k最后的结果编号即为f(n,k)。

f(10,3) = (f(9,3) + 3) % 10
f(9,3) = (f(8,3) + 3) % 9
........
f(2,3) = (f(1,3) + 3) %2
f(1,3) = 0

递推关系: f(n,k) = (f(n-1,k) + k) % n

初始条件: f(1,k) = 0

通过上述递推关系通过递归或者迭代解决问题

• 每次出列一个人后，问题规模减小1
• 出列后的编号需要映射到原始编号
• 从简单情况(n=1)开始，逐步递推到n个人的情况

上述为对于从0开始编号的情况，而对于从1开始编号的情况，由于取余%运算结果区间为[0,n-1]，需要进行将0映射为n的处理

将0映射为10，才符合原序列要求

代码实现

递归解法

# 从0开始编号
def findlast(n: int, k: int) -> int:
   # 递归结束条件
   if n == 1:
       return 0
   res = findlast(n-1,k)%n
   return res

# 从1开始编号
# 将0映射为n
def findlast(n: int, k: int) -> int:
   # 递归结束条件
   if n == 1:
       return 1
   res = findlast(n-1,k)%n
   if res == 0:
       res = n
   return res

# 将区间[1,n]变换为[0,n-1]
def findlast(n: int, k: int) -> int:
   # 递归结束条件
   if n == 1:
       return 1
   res = (findlast(n-1,k)-1)% n
   return res + 1

迭代解法

def findlast(n: int, k: int) -> int:
  # 编号从1开始
  x = 0
  for i in range(2,n+1):
      x = (x + k) % i
  return x + 1 # return x 编号从0开始

复杂度分析

• 时间复杂度：递归解法O(n)，迭代解法O(n)

• 空间复杂度: 递归解法O(n)，迭代解法O(1)

总结

约瑟夫环问题是一个经典的数学算法问题，在不同的刷题平台上有不同的变体，但是不管如何变化算法的思想是不变的。对于算法题的学习，一题多解的思考是很重要的。现在出现了许多AI编程产品，也为学习算法提供了有效的工具。