线性动态规划问题是算法题中占比非常大的一类经典问题。本文将从一道例题引入，逐步分析如何使用线性动态规划方法解决问题，并总结线性DP问题的一些共性特点，帮助读者掌握如何设计线性DP问题的状态，列出状态转移方程并解决问题。
问题描述
小R在接下来的n天里想要尽可能多地吃糖果。为了保持健康和节省零花钱，她规定如果今天吃了糖果，明天就不能吃。不过，小R允许自己有k次机会打破这个规则，在连续两天都吃糖果。她希望通过合理安排每天是否吃糖果，获得最大的糖果美味值。你的任务是帮助小R规划她的吃糖果方案，以使她吃到的糖果美味值最大。
例如：小R在7天内有 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 的美味值，她允许自己有1次打破原则的机会。最优方案是在第2、4、6天吃糖果，并在第7天使用一次机会继续吃糖果，最大美味值为 2 + 4 + 6 + 7 = 19。
测试样例
样例1：
输入：
n = 7, k = 1, a = [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7]
输出：19
样例2：
输入：
n = 6, k = 2, a = [10, 20, 30, 40, 50, 60]
输出：170
样例3：
输入：
n = 5, k = 0, a = [8, 12, 15, 20, 25]
输出：48
问题分析
首先，我们从样例就能够看出，使用贪心算法无法解决该问题，因为选择今天是否吃糖果会影响到每天能不能吃糖果。其次，如果使用枚举算法，所有吃糖果的可能选择有2^N种，很明显不可行。因此，我们需要使用其它算法解决问题。
由于题目比较复杂，我们可以尝试先把题目分解为更小的子问题。
-
小R每天有哪些可能的选择？显然，对于某一天而言，小R可以选择吃或者不吃糖果。
-
小R在今天的选择如何影响明天的选择？如果今天吃了糖果，明天可以选择不吃糖果或使用一次打破规则的机会；如果今天不吃糖果，明天可以选择吃或不吃糖果。
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如何表示某一天小R的状态？由于小R当天可以选择吃不吃糖果，并且可以有打破规则的机会，因此我们可以使用三个数字表示某一天小R的状态：第
i天，剩余j次打破规则的机会，当天是否吃糖果s（1为吃糖果，0为不吃糖果）。
解法设计
根据问题分析，我们自然可以得到动态规划的状态定义如下：
设dp[i][j][s]为第i天结束时，剩余j次机会，并且状态为s时的最大美味值，其中：
s = 0表示第i天不吃糖果。s = 1表示第i天吃糖果。
根据状态定义，可以得到如下的状态转移方程：
-
第
i天不吃糖果时，今天的最大值可以是昨天吃或不吃的最大值：dp[i][j][0]=max(dp[i−1][j][0], dp[i−1][j][1]) -
第
i天吃糖果时，如果昨天没有吃，则直接吃糖果；如果昨天吃了，且剩余机会大于0，则可以使用一次打破规则的机会继续吃糖果：dp[i][j][1]=max(dp[i−1][j][0], dp[i−1][j+1])+a[i]
代码实现
以下是基于上述解法设计的Java实现：
public class Main {
public static int solution(int n, int k, int[] a) {
int[][][] dp = new int[109][109][2];
dp[0][k][1] = a[0];
for (int i = 1; i < n; i++) {
for (int j = 0; j <= k; j++) {
dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1]);
if (j < k)
dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j + 1][1]) + a[i];
else
dp[i][j][1] = dp[i - 1][j][0] + a[i];
}
}
int ans = 0;
for (int i = 0; i <= k; i++)
ans = Math.max(ans, Math.max(dp[n - 1][i][0], dp[n - 1][i][1]));
// System.out.println(ans);
return ans;
}
}
算法特点
通过上述问题，我们可以总结出线性动态规划问题的一些共性特点：
-
状态的单调性：线性动态规划问题通常以时间或序列为主线，状态依赖于前一时刻或前一位置的状态，如本题中
dp[i]只依赖dp[i-1]。 -
状态定义：根据问题约束条件，状态往往具有多个维度（如本题中的天数
i、剩余机会j、是否吃糖果s）。状态的维度是解决问题的关键。 -
状态转移依赖于限制条件：状态转移公式是动态规划问题的核心，通常由问题的限制条件决定。本题的限制条件有：不能连续两天吃糖果；允许打破规则。
-
目标为最优子结构的组合：动态规划问题通常遵循最优子结构性质，即当前的最优解由历史状态的最优解推导而来。本题中，小R在某一天的最大美味值取决于她前一天的选择。
