【题解】魔法甜点之和：小包的新挑战 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

众所周知，小包是一名非常喜欢吃甜点的小朋友，他在工作时特别爱吃下午茶里的甜食。

这天，下午茶小哥像往常一样送来了今天的 N 个甜点。小包对每个甜点有自己的喜爱值。但是今天的他不再贪心，并不想要喜爱值越高越好。他今天吃的甜点的喜爱值的和，一定要等于他的预期值 S。

但是他的预期值很高，小哥的甜点似乎不一定满足得了他，所以他准备了 M 个魔法棒，每个魔法棒可以对一个他要吃的甜点使用 1 次，使用后这个甜点的喜爱值会变成原来的喜爱值的阶乘。无法对一个甜点使用多次魔法棒，也不需要使用完所有魔法棒，也无法对不吃的甜点使用魔法棒。

小包很好奇，他有多少种方案，可以吃到喜爱值刚好为他的预期值的甜点。如果两种方案中小包食用了不同的甜点，或者对不同的甜点使用了魔法棒，那么这两种方案都视为不同。

输入格式

输入第一行，包含 3 个整数 $N，M，S$，分别代表甜点的数量，魔法棒的数量，以及小包的预期值

接下来一行，包含 N 个整数，代表每个甜点的喜爱值

输出格式

输出为一个整数，代表小包的方案数

数据范围

10% 的数据保证 $M \leq 0, 1 \leq N \leq 10$

30% 的数据保证 $1 \leq N \leq 12$

100% 的数据保证 $1 \leq N \leq 25, 0 \leq M \leq N, 1 \leq S \leq 10^{16}$

问题分析

读题时

这道题考察的是动态规划。但是我发现这道题 $S$ 的范围有亿点大，直接开数组存状态绝对不行，而且随着喜爱值增加，施法（阶乘）的结果可能直接远超 $S$，也就是说会出现很多不必要的状态，要考虑一下如何剪枝。

解题时

状态方程推导

设已使用 $x$ 根魔法棒且喜爱值之和为 $s$ 时有 $c$ 种方案。根据问题描述，对于每个甜点，存在两种选择：

• 如果不用魔法棒，直接累加当前甜点的喜爱值 ，魔法棒数量保持不变，即：

• 如果用魔法棒，该甜点的喜爱值将变为其阶乘 $magic[like[i]]$，魔法棒数量增加 1 ，即：

初始状态是没有选择甜点和使用魔法棒，显然可知为 $f[(0,0)] = 1$

约束条件剪枝

• 已使用的魔法棒数量不能超过总数，所以在状态转移时要满足 $x+1 \leq M$
• 喜爱值总和不能超过目标值 $S$ ，所以在状态转移时要满足 $s + like[i] \leq S$ 或 $s + magic[like[i]] \leq S$ 。

状态存储问题

在本题中， $S$ 的范围为 $1 \leq S \leq 10^{16}$。一般的 DP 通常会开数组来存状态，但这里 $S$ 的范围特别大，假设我们直接开数组，大小为 $O(M \times S)$。最大所需空间会达到 $25 \times 10^{16} \times 4$ 字节，显然不现实。

还有一点，即使 $S$ 范围很大，但具体分析一下，每次选择甜点后，累加的喜爱值是离散的，并非连续增长；使用魔法棒后，甜点的喜爱值变为其阶乘，这大概率会导致 $s$ 直接远超 $S$ 。对于很多甜点，使用魔法棒后的状态根本无效。也就是说，有效状态 $(x,s)$ 的分布既稀疏又不连续，数组存储状态会导致存储资源的严重浪费。

于是我采用了哈希表（这里是 Python 的 defaultdict），只为有效状态分配空间。哈希表的插入和访问操作在均摊情况下为 $O(1)$，在状态稀疏时效率极高。而且当同一个状态被多次更新时，哈希表可以直接累加方案数，确保状态转移逻辑正确。

代码分析及实现

from collections import defaultdict

magic = [1] * 100

def solution(n: int, m: int, s: int, like: list[int]):
    for i in range(1, 100):
        magic[i] = magic[i - 1] * i

    dpmap = defaultdict(int)  
    dpmap[(0, 0)] = 1  

    for i in range(1, n + 1):
        # copy是为了防止当前状态被污染而影响遍历
        current_dpmap = dpmap.copy()
        for (stick_count, like_sum), count in current_dpmap.items():
            if like_sum + like[i - 1] <= s:
                dpmap[(stick_count, like_sum + like[i - 1])] += count
            if stick_count + 1 <= m and like_sum + magic[like[i - 1]] <= s:
                dpmap[(stick_count + 1, like_sum + magic[like[i - 1]])] += count

    result = 0
    for i in range(m + 1):
        result += dpmap[(i, s)] 
    
    return result

if __name__ == "__main__":
    #  测试用例，此处省略

总结

这道题考察了背包问题，空间优化+离散化，让我更加理解了动态规划和哈希表结合使用的技巧。在问题规模较大且状态稀疏的情况下，哈希表能显著优化存储和计算效率。

就这道题来说，预期值 S 的范围过大，无法用数组直接存储所有可能状态，但哈希表只存储实际可转移到的有效状态，避免了大规模的空间浪费。设计动态规划的状态存储时，应根据问题特性选择合适的数据结构。