连续数字差绝对值为K的问题

在生成特定规则数字的问题中，我们需要灵活构造满足约束条件的结果集合。本题要求生成所有长度为 n 的非负整数，且每两个连续数字的差的绝对值必须为 k。这一问题不仅考验对数字序列的理解，还要求我们能够通过递归或回溯方法逐步构造合规的数字组合。同时，为了保证结果的正确性和输出顺序，需要在构造过程中进行剪枝优化，合理选择下一步操作，从而高效地找到所有满足条件的整数组合。

一、问题描述

小R正在研究一些数字生成的有趣性质。他需要找出所有长度为 n 且满足其每两个连续位上的数字之间的差的绝对值为 k 的非负整数。注意，除了数字 0 本身之外，答案中的每个数字都不能有前导零（例如，01 是无效的，但 0 是有效的）。最后，请从小到大返回所有符合条件的整数。

二、解题思路

这道题需要逐位生成符合条件的数字，因此可以采用递归或回溯的方式解决：

递归生成数字：
- 从数字 1 到 9 开始（因为不能有前导零），逐位构造长度为 n 的数字。
- 对于每个数字，根据其最后一位，尝试添加符合条件的下一位（当前数字的最后一位加 k 或减 k）。
剪枝优化：
- 在构造过程中，若当前位加或减 k 后的值超出合法范围（如小于 0 或大于 9），直接跳过该分支。
- 当数字长度达到 n 时，将其加入结果集合。
特殊情况处理：
- 当 n=1 时，可以直接返回所有数字（0 到 9）。
- 当 k=0 时，每个数字的所有位必须相同，如 111 或 777。

三、解题步骤

初始化结果集合：准备一个结果列表，用于存储所有符合条件的数字。
递归构造数字：
- 从 1 到 9 依次开始，调用递归函数进行数字构造；
- 在递归函数中，根据当前数字的最后一位计算可能的下一位，判断其合法性后继续递归。
特殊情况处理：
- 如果 n=1，需要额外将数字 0 加入结果。
输出结果：返回结果集合，按从小到大的顺序排列.

四、代码实现

以下是基于Go语言的代码实现：

// findNumbers 找到所有满足条件的整数
func findNumbers(n, k int) []int {
	var results []int

	// 从 1 到 9 开始构造数字
	for i := 1; i <= 9; i++ {
		buildNumbers(i, n-1, k, &results)
	}

	// 如果 n == 1，则需要包含 0
	if n == 1 {
		results = append(results, 0)
	}

	// 从小到大返回结果
	sort.Ints(results)
	return results
}

// buildNumbers 递归构造符合条件的数字
func buildNumbers(current, remaining, k int, results *[]int) {
	if remaining == 0 {
		*results = append(*results, current)
		return
	}

	lastDigit := current % 10

	// 尝试加 k 和减 k 的情况
	for _, diff := range []int{k, -k} {
		nextDigit := lastDigit + diff
		if nextDigit >= 0 && nextDigit <= 9 { // 确保合法性
			buildNumbers(current*10+nextDigit, remaining-1, k, results)
		}
	}
}

五、复杂度分析

时间复杂度：
- 对于每个起始数字（1 到 9），递归生成一棵深度为 n 的树；
- 每次递归有两个分支（加 k 和减 k），总调用次数约为 O(9*2^(n-1))。
- 因此，总时间复杂度为 O(9*2^(n−1))。
空间复杂度：
- 递归调用栈的深度为 n，因此空间复杂度为 O(n)。

六、总结

本题是一个经典的递归与回溯问题，通过逐步构造满足条件的数字，确保每一步的合法性，并在长度达到 n 时将结果加入集合。

关键点：利用递归函数逐位生成数字，同时通过条件判断对非法分支进行剪枝优化。
特殊情况：如 k=0 或 n=1 时的特殊处理。