引言
在编程学习与实践过程中，深入分析各类问题并总结解题思路和代码实现方式是提升能力的重要途径。本次针对题库中的补给站最优花费问题展开详细剖析，并分享个人在探索过程中的学习心得。
题目具体描述
题目关键信息
1. 小U每天必须有足够的食物，否则无法完成旅行。
2. 可以在任意补给站购买任意数量的食物（前提是携带数量不超天数需求）。
3. 必须规划购买策略，以使总花费最低。
解题思路
1.问题简化：
目标是找到一个购买策略，确保每天有足够食物，同时总花费最低。由于食物价格不同，可以选择提前在较便宜的补给站购买足够的食物。
2.动态规划/贪心方法：
贪心策略：
在较便宜的补给站多购买食物，减少在较贵补给站购买的需求。
动态规划：
考虑到每一天的最优解与前一天的状态相关，构建一个状态转移方程，逐步更新最低花费。
3.复杂度分析：
时间复杂度：与补给站数量（N）和天数（M）成线性或接近线性关系。
Python代码
def solution(n, k, p):
dp = [float('inf')] * (n + 1)
dp[0] = 0
for i in range(k):
day, price = p[i]
for j in range(day, n + 1):
dp[j] = min(dp[j], dp[day] + price * (j - day))
return dp[n]
if __name__ == "__main__":
print(solution(5, 4, [[0, 2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]]) == 7)
print(solution(6, 5, [[0, 1], [1, 5], [2, 2], [3, 4], [5, 1]]) == 6)
print(solution(4, 3, [[0, 3], [2, 2], [3, 1]]) == 9)
代码主要步骤
- 初始化动态规划数组
dp = [float('inf')] * (n + 1)
dp[0] = 0
定义: dp[j] 表示完成第 j 天时的最小花费。
初始化为无穷大（float('inf')），表示初始状态下，所有天数的最小花费未知。
边界条件： dp[0] = 0，因为第0天是起点，不需要额外花费。
- 遍历补给站
for i in range(k):
day, price = p[i]
遍历每个补给站，用变量 day 表示补给站所在的天数，price 表示该站的食物单价。
贪心选择的可能性： 利用当前补给站的食物价格，尝试更新从第 day 天到第 n 天的最小花费。
- 动态规划核心
for j in range(day, n + 1):
dp[j] = min(dp[j], dp[day] + price * (j - day))
内层循环： 从当前补给站所在的天数 day 开始，尝试更新从 day 到 n 天之间的最小花费。
状态转移方程：
dp[j] = min(dp[j], dp[day] + price * (j - day))
· dp[j]：到达第 jjj 天的最小花费。
· dp[day]：到达当前补给站的最小花费。
· price * (j - day)：在当前补给站购买足够食物供 j−dayj - dayj−day 天所需的花费。
含义：
通过在当前补给站购买所需的食物，尝试更新从第 day 天到第 j 天的最低花费。
- 返回结果
return dp[n]
返回 dp[n]dp[n]dp[n]，即完成第 n 天所需的最小花费。
总结
一、实验总结
1.实验内容
本次实验通过动态规划解决徒步旅行中的最小花费问题。利用 dp[j] 表示完成第 jjj 天的最小花费，结合补给站的价格信息，逐步更新状态，最终计算出全局最优解。
2.实验过程
问题建模：构建动态规划数组，明确状态转移方程。
核心实现：利用两层循环，外层遍历补给站，内层更新从当前补给站到目标天数的最小花费。
测试结果：经过多个测试用例验证，算法输出正确，性能稳定。
3.实验结果
动态规划方法成功解决问题，时间复杂度为 O(k⋅n)，空间复杂度为 O(n)，适合较大规模数据。
二、心得体会
动态规划的重要性
动态规划是解决多阶段最优决策问题的核心方法，实验中体现了其强大之处。通过优化状态转移方程，避免了暴力搜索的高时间复杂度。
边界条件处理
在实际问题中，正确初始化和处理边界条件非常重要，是算法正确性的基础。
代码优化意识
实验增强了对代码效率和鲁棒性的关注，尤其是动态规划在性能和实现复杂度之间的平衡。
三、总结
本实验不仅强化了动态规划的理解和应用，还提高了分析问题和优化代码的能力。这种算法思想可以广泛应用于类似的最优解问题，为今后的学习和实践奠定了坚实基础。
