小U的加法魔法 | 青训营X豆包MarsCode 技术训练营

小U的加法魔法问题解析

问题描述

小U有一个长度为 ( n ) 的数组 ( a )。她需要计算这个数组的总和：
sum=a1​+a2​+...+an​。

小U可以使用一次魔法，将其中一个加号变成乘号，以使得最终的总和最大。你需要帮助小U找到这个最优的方案，计算出最大的可能总和。

输入输出格式

• 输入:

  • 整数 ( n ) (1 ≤ ( n ) ≤ 1000)：数组的长度。
  • 数组 ( a ) (长度为 ( n ))：由整数构成的数组，数组中的元素 ( a_i ) (1 ≤ ( a_i ) ≤ 100)。

• 输出:

  • 一个整数，表示最大的可能总和。

解题思路

1. 基本策略:

   • 计算数组的初始总和 total_sum。
   • 遍历数组，尝试将每个加号替换为乘号，计算新的总和并更新最大值。

2. 具体实现:

   • 对于每个可能的替换位置 ( i )，计算新的总和：

     • 替换 (ai​+ai+1​)=(ai​×ai+1​)
     • 新的总和为：
       new_sum=total_sum−ai​−ai+1​+ai​×ai+1​

   • 更新最大总和的值。

3. 边界条件:

   • 只在n≥2的情况下进行替换，因为至少需要两个元素才能进行操作。

代码实现

以下是实现该算法的 Python 代码：

def maximize_sum(n: int, a: list) -> int:
    # 计算初始总和
    total_sum = sum(a)
    max_sum = total_sum  # 初始化最大总和为总和本身

    # 遍历数组，尝试将每个加号替换为乘号
    for i in range(n - 1):  # 只到 n-1，因为要替换 a[i] + a[i+1]
        # 计算新的总和
        new_sum = total_sum - a[i] - a[i + 1] + (a[i] * a[i + 1])
        max_sum = max(max_sum, new_sum)  # 更新最大总和

    return max_sum

# 测试用例
if __name__ == '__main__':
    print(maximize_sum(6, [1, 1, 4, 5, 1, 4]))  # 输出: 27
    print(maximize_sum(3, [2, 3, 5]))            # 输出: 17

代码解析

• 主函数 maximize_sum:

  • 接收参数 ( n )（数组长度）和数组 ( a )。
  • 计算初始总和 total_sum。
  • 初始化 max_sum 为 total_sum，即不进行任何操作的总和。

• 替换加号为乘号:

  • 使用一个 for 循环遍历数组，直到 n-1，每次计算新的总和 new_sum，并更新 max_sum。

时间复杂度分析

• 时间复杂度:

  • 计算总和的复杂度为 ( O(n) )，遍历数组的复杂度为 ( O(n) )，因此总体时间复杂度为 ( O(n) )。

空间复杂度分析

• 空间复杂度:

  • 只使用常数空间来存储总和和最大总和，因此空间复杂度为 ( O(1) )。