问题描述
小S最近在分析一个数组 h1,h2,...,hN，数组的每个元素代表某种高度。小S对这些高度感兴趣的是，当我们选取任意 k 个相邻元素时，如何计算它们所能形成的最大矩形面积。
对于 k 个相邻的元素，我们定义其矩形的最大面积为：
R(k)=k×min(h[i],h[i+1],...,h[i+k−1])
即，R(k) 的值为这 k 个相邻元素中的最小值乘以 k。现在，小S希望你能帮他找出对于任意 k，R(k)的最大值。
测试样例
样例1：
输入：n = 5, array = [1, 2, 3, 4, 5] 输出：9
样例2：
输入：n = 6, array = [5, 4, 3, 2, 1, 6] 输出：9
样例3：
输入：n = 4, array = [4, 4, 4, 4] 输出：16
解题思路
解法一：暴力法（枚举法）
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遍历所有可能的子数组长度 k （从 1 到 n）。
-
对于每个 k，从数组起点开始遍历每个子数组，计算其最小值 min(h[i:i+k]) 并乘以 k。
-
记录每个子数组长度 k 的最大矩形面积，最后返回所有值中的最大值。
Java代码实现
public static int solution(int n, int[] array) {
int maxArea = 0;
// 枚举所有可能的子数组长度 k
for (int k = 1; k <= n; k++) {
for (int i = 0; i <= n - k; i++) {
// 找到长度为 k 的子数组中的最小值
int minHeight = Integer.MAX_VALUE;
for (int j = i; j < i + k; j++) {
minHeight = Math.min(minHeight, array[j]);
}
// 更新最大面积
maxArea = Math.max(maxArea, minHeight * k);
}
}
return maxArea;
}
时间复杂度
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时间复杂度：O() (枚举所有子数组，计算最小值需要O(k))。
-
空间复杂度：O(1)。
解法二：单调栈法
此问题可以转化为直方图最大矩形问题，核心思路是：
- 利用单调栈快速找到每个柱形的左右边界。
- 每个柱形高度 h[i] 作为最小值时，可以形成的最大矩形宽度为： 宽度=右边界−左边界−1
- 矩形面积为： h[i]×宽度h[i]
- 遍历所有柱形，返回最大矩形面积。
Java代码实现
public static int solution(int n, int[] array) {
// Edit your code here
int res = 0, max = 0, len = n;
Stack<Integer> st = new Stack<>();
int[] newArray = new int[len + 2];
newArray[0] = 0;
newArray[newArray.length - 1] = 0;
for (int i = 0; i < array.length; i++) {
newArray[i + 1] = array[i];
}
st.push(0);
for (int right = 0; right < newArray.length; right++) {
while (!st.isEmpty()) {
int mid = st.peek();
if (newArray[right] < newArray[mid]) {
st.pop();
int left = st.peek();
int h = newArray[mid];
int w = right - left - 1;
max = Math.max(max, w * h);
} else {
break;
}
}
st.push(right);
}
return max;
}
时间复杂度
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时间复杂度：O(n)（每个柱形入栈出栈一次）。
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空间复杂度：O(n)（存储左右边界和栈）。
学习心得
单调栈思想
它是特殊栈结构，栈内元素需保持单调递增或递减性。按顺序遍历数据序列，栈空时新元素直接入栈；栈不空时，若新元素符合栈的单调性要求则入栈，若不符合，就不断弹出栈顶元素并做相应处理，直至栈空或新元素满足单调性要求后再入栈。
单调栈适合解决以下几类问题：
- 寻找下一个更大（小）元素：比如在整数数组中找各元素右边首个更大（小）元素，或计算柱状图最大矩形面积时确定各柱子对应的相关情况。
- 区间最值查询：特定条件下可快速确定满足单调性要求的子区间最值。
- 匹配括号相关：判断括号是否匹配以及确定匹配括号对位置等。
- 维护有序序列及快速查询：动态维护有序序列，便于快速查询元素位置及相邻元素等信息。
知识点延伸
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单调栈技巧：
单调栈常用于快速计算左右边界问题，例如：- 直方图最大矩形面积。
- 滑动窗口最大值。
- 股票问题。
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时间复杂度优化思路：
从暴力法到单调栈的优化，核心在于避免重复计算（如多次求最小值）。 -
延伸问题：
- 给定一个二维矩阵，求矩形区域的最大面积（最大子矩形问题）。
- 滑动窗口内最小值或最大值问题。
通过不同解法的实现，我们可以对算法效率和数据结构应用有更深入的理解。
