问题理解
小C拿到了一个数组，她定义一个数组的权值为数组中任意选取两个数的异或之和。具体来说，对于一个数组，每个连续子数组的任意两元素的异或值之和定义为其权值。她想知道该数组中所有可能的连续子数组的权值之和是多少，答案需要对 10^9 + 7 取模。
数据结构选择
- 数组：用于存储输入的数组
a。 - 整数变量：用于计数和索引操作。
- 计数器数组：用于按位统计当前位为
0和1的元素数量。
算法步骤
-
初始化：
- 定义常数
MOD = 10^9 + 7，用于结果取模。 - 定义变量
m = 31，假设整数为 32 位。 - 初始化答案
ans = 0。
- 定义常数
-
按位计算：
- 对于每一位
k（从 0 到 30），分别计算该位对最终答案的贡献。 - 初始化计数器数组
c = [0, 0]，分别表示当前位为0和1的元素数量。 - 初始化变量
s = 0，用于累加当前位的贡献。
- 对于每一位
-
遍历数组：
- 对于数组
a中的每个元素x，取出第k位的值b = (x >> k) & 1。 - 累加当前位的贡献：
- 当前元素可以与之前所有第
k位为1 - b的元素形成一对，它们的异或在第k位会产生1，并且从当前元素x开始的所有可能的连续子数组中，这些对都会贡献异或结果。 - 贡献值为
c[1 - b] * (n - j)，其中n - j表示从位置j开始到数组末尾的子数组数量。
- 当前元素可以与之前所有第
- 更新计数器：
c[b] += j + 1，表示第k位为b的元素的累积前缀和。
- 对于数组
-
累加答案：
- 对于每一位，将该位的总贡献
s左移k位，加到答案中。
- 对于每一位，将该位的总贡献
-
返回结果：
- 返回答案
ans。
- 返回答案
代码实现
def solution(n: int, a: list) -> int:
assert n == len(a)
mod = int(1e9 + 7)
m = 31 # 假设整数为 32 位
ans = 0
for k in range(m):
c = [0, 0] # c[0]: 第k位为0的计数；c[1]: 第k位为1的计数
s = 0
for j, x in enumerate(a):
b = (x >> k) & 1
# 累加当前位的贡献
s = (s + c[1 - b] * (n - j)) % mod
# 更新计数器
c[b] = (c[b] + j + 1) % mod
# 将第k位的总贡献左移k位，加入答案
ans = (ans + (s << k)) % mod
return ans
时间和空间复杂度
-
时间复杂度：
O(n * m)，其中n为数组长度，m为整数的位数（假设为 32 位）。- 遍历数组的每一位需要
O(n)，每一位的计算需要O(m)。 - 总时间复杂度为
O(n * m)。
- 遍历数组的每一位需要
-
空间复杂度：
O(1)，仅使用了常数级别的额外空间。- 计数器数组
c和累加变量s均为常数空间。 - 总空间复杂度为
O(1)。
- 计数器数组
