问题描述
小R正在研究DNA序列，他需要一个函数来计算将一个受损DNA序列（dna1）转换成一个未受损序列（dna2）所需的最少编辑步骤。编辑步骤包括：增加一个碱基、删除一个碱基或替换一个碱基。
测试样例
样例1：
输入：
dna1 = "AGT",dna2 = "AGCT"
输出：1
样例2：
输入：
dna1 = "AACCGGTT",dna2 = "AACCTTGG"
输出：4
样例3：
输入：
dna1 = "ACGT",dna2 = "TGC"
输出：3
样例4：
输入：
dna1 = "A",dna2 = "T"
输出：1
样例5：
输入：
dna1 = "GGGG",dna2 = "TTTT"
输出：4
这个问题可以看作是经典的编辑距离问题（Edit Distance Problem），也称为莱文斯坦距离（Levenshtein Distance）。编辑距离是指将一个字符串转换成另一个字符串所需的最少编辑操作次数。编辑操作包括：
- 插入：在字符串中插入一个字符。
- 删除：删除字符串中的一个字符。
- 替换：将字符串中的一个字符替换为另一个字符。
问题理解
- 输入：两个字符串
dna1和dna2。 - 输出：将
dna1转换成dna2所需的最少编辑操作次数。
数据结构选择
- 使用动态规划（Dynamic Programming, DP）来解决这个问题。
- 定义一个二维数组
f，其中f[i][j]表示将dna1的前i个字符转换成dna2的前j个字符所需的最少编辑操作次数。
算法步骤
-
初始化：
f[i][0]表示将dna1的前i个字符转换成空字符串，需要i次删除操作。f[0][j]表示将空字符串转换成dna2的前j个字符，需要j次插入操作。
-
状态转移：
-
如果
dna1[i] == dna2[j]，则f[i][j] = f[i-1][j-1]，即不需要任何操作。 -
如果
dna1[i] != dna2[j]，则f[i][j]可以从以下三种操作中选择最小值：- 替换：
f[i-1][j-1] + 1 - 删除：
f[i-1][j] + 1 - 插入：
f[i][j-1] + 1
- 替换：
-
-
最终结果：
f[m][n]即为将dna1转换成dna2所需的最少编辑操作次数，其中m和n分别是dna1和dna2的长度。
通过上述步骤，我们可以有效地计算出将 dna1 转换成 dna2 所需的最少编辑操作次数。
代码示例
def solution(dna1, dna2):
m, n = len(dna1), len(dna2)
dna1 = " " + dna1
dna2 = " " + dna2
f = [[0 for _ in range(n + 1)] for _ in range(m + 1)]
for i in range(1, m + 1): f[i][0] = i
for i in range(1, n + 1): f[0][i] = i
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if dna1[i] == dna2[j]:
f[i][j] = f[i - 1][j - 1]
else:
f[i][j] = min(f[i - 1][j - 1] + 1, f[i - 1][j] + 1, f[i][j - 1] + 1)
return f[m][n]
知识点总结
这个问题涉及到了几个重要的编程和算法知识点，以下是详细的总结：
1. 动态规划（Dynamic Programming, DP）
动态规划是一种通过将复杂问题分解为更简单的子问题来解决的方法。它通常用于解决具有重叠子问题和最优子结构性质的问题。
- 重叠子问题：子问题之间存在重叠，即同一个子问题会被多次求解。
- 最优子结构：问题的最优解可以通过子问题的最优解来构造。
在这个问题中，我们使用动态规划来计算两个字符串之间的编辑距离。
2. 编辑距离（Edit Distance）
编辑距离（也称为莱文斯坦距离，Levenshtein Distance）是指将一个字符串转换成另一个字符串所需的最少编辑操作次数。编辑操作包括插入、删除和替换。
- 插入：在字符串中插入一个字符。
- 删除：删除字符串中的一个字符。
- 替换：将字符串中的一个字符替换为另一个字符。
3. 二维数组（2D Array）
在动态规划中，我们通常使用二维数组来存储子问题的解。二维数组的每个元素表示一个子问题的解。
- 初始化：初始化二维数组的边界条件。
- 状态转移：根据子问题的解来计算当前问题的解。
4. 边界条件（Boundary Conditions）
在动态规划中，边界条件是指最简单的情况，通常是问题的初始状态。
- 空字符串：将一个字符串转换成空字符串或从空字符串转换成一个字符串的操作次数。
5. 状态转移方程（State Transition Equation）
状态转移方程描述了如何从子问题的解推导出当前问题的解。
- 相等：如果当前字符相等，则不需要任何操作。
- 不相等：如果当前字符不相等，则可以选择插入、删除或替换操作，并取最小值。
6. 时间复杂度和空间复杂度
- 时间复杂度：O(m * n)，其中
m和n分别是两个字符串的长度。 - 空间复杂度：O(m * n)，用于存储二维数组。
