刷题笔记-小C的数字倍数问题 | 豆包MarsCode AI刷题

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小U对数字倍数问题很感兴趣，她想知道在区间 $[l, r]$ 内，有多少个数是 $a$ 的倍数，或者是 $b$ 的倍数，或者是 $c$ 的倍数。需要计算出这些数的个数。

示例：

• 输入：$a = 2, b = 3, c = 4, l = 1, r = 10$
• 输出：7

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二、解题思路

1. 分析问题

这个问题要求统计在给定区间内，满足以下任一条件的整数的数量：

• 是 $a$ 的倍数
• 是 $b$ 的倍数
• 是 $c$ 的倍数

需要注意的是，一个数可能同时是多个数的倍数，例如，$12$ 既是 $3$ 的倍数，也是 $4$ 的倍数。

2. 避免重复计数

为了准确地统计符合条件的整数个数，必须避免重复计数。因此，我们可以使用 容斥原理 来解决这个问题。

3. 容斥原理

容斥原理用于计算多个集合的并集的大小，公式如下：

其中：

• $|A|$ 表示集合 $A$ 的元素个数
• $|A \cap B|$ 表示集合 $A$ 和 $B$ 的交集的元素个数

在本题中：

• $A$：所有是 $a$ 的倍数的数
• $B$：所有是 $b$ 的倍数的数
• $C$：所有是 $c$ 的倍数的数

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三、算法步骤

1. 计算单独倍数的数的个数

计算在区间 $[l, r]$ 内是 $a$、$b$、$c$ 的倍数的数的个数。

公式：

2. 计算两两的最小公倍数（LCM）及其倍数的个数

计算 $a$ 和 $b$ 的最小公倍数 $\text{lcm}(a, b)$，以及 $\text{lcm}(a, c)$、$\text{lcm}(b, c)$，然后计算这些最小公倍数在区间内的倍数的个数。

3. 计算三个数的最小公倍数及其倍数的个数

计算 $a$、$b$、$c$ 三个数的最小公倍数 $\text{lcm}(a, b, c)$，计算其在区间内的倍数的个数。

4. 应用容斥原理计算总数

将上述结果代入容斥原理公式，计算最终的整数个数。

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四、算法实现

def solution(a: int, b: int, c: int, l: int, r: int) -> int:
    from math import gcd

    # 定义计算最小公倍数的函数
    def lcm(x, y):
        return x * y // gcd(x, y)

    # 定义计算在区间内是 k 的倍数的数的个数的函数
    def get_count(k, l, r):
        return r // k - (l - 1) // k

    # 计算单独倍数的数的个数
    n_a = get_count(a, l, r)
    n_b = get_count(b, l, r)
    n_c = get_count(c, l, r)

    # 计算两两的最小公倍数及其倍数的个数
    lcm_ab = lcm(a, b)
    lcm_ac = lcm(a, c)
    lcm_bc = lcm(b, c)

    n_ab = get_count(lcm_ab, l, r)
    n_ac = get_count(lcm_ac, l, r)
    n_bc = get_count(lcm_bc, l, r)

    # 计算三个数的最小公倍数及其倍数的个数
    lcm_abc = lcm(a, lcm(b, c))
    n_abc = get_count(lcm_abc, l, r)

    # 应用容斥原理计算总数
    total = n_a + n_b + n_c - n_ab - n_ac - n_bc + n_abc

    return total

# 测试样例
if __name__ == "__main__":
    print(solution(2, 3, 4, 1, 10) == 7)        # 输出：True
    print(solution(5, 7, 11, 15, 100) == 34)    # 输出：True
    print(solution(1, 1, 1, 1, 1000) == 1000)   # 输出：True

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五、算法分析

1. 时间复杂度

• 计算最大公约数（GCD）：$O(\log \min(a, b))$
• 计算最小公倍数（LCM）：$O(\log \min(a, b))$
• 总的计算次数：常数次计算，时间复杂度为 $O(\log \max(a, b, c))$

2. 空间复杂度

• 仅使用了常数个变量，空间复杂度为 $O(1)$

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六、注意事项

1. 整数除法与下取整

• 在 Python 中，使用 // 进行整除运算，结果为向下取整的整数
• 避免使用 /，因为其结果为浮点数

2. 容斥原理的加减顺序

• 按照容斥原理的公式，必须严格遵守加减的顺序，否则结果会出错

3. 最小公倍数的计算

• 计算多个数的最小公倍数时，可以使用递归的方式
• $\text{lcm}(a, b, c) = \text{lcm}(a, \text{lcm}(b, c))$

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七、总结

通过这道题目，我们可以复习容斥原理在计数问题中的应用，巩固最大公约数和最小公倍数的计算方法。同时，我们也需要注意编程实现中的细节，比如整数除法、容斥原理的正确应用等。

在解决这类问题时，清晰的分析和严谨的数学推导是非常重要的。希望今后在遇到类似的问题时，能够快速地想到使用容斥原理，并正确地应用到解题过程中。