问题描述
小U得到一个数列，数列的定义如下：
- 初始条件为
f(1) = a,f(2) = b。 - 对于第
i项，数列满足递推关系：f(i) = f(i-1) * f(i-2) * c^d。
你需要计算出数列的第 n 项的因子数量。由于答案可能很大，请对 10^9 + 7 取模。
测试样例
样例1：
输入：
a = 1, b = 2, c = 3, d = 4, n = 3
输出：10
样例2：
输入：
a = 2, b = 3, c = 5, d = 2, n = 4
输出：30
样例3：
输入：
a = 1, b = 1, c = 2, d = 1, n = 5
输出：5
解题思路
直接递推计算 f(i) 显然行不通，因为数列增长非常快，甚至第 4 项就可能超过 Python 的整数处理极限。因此，我们需要寻找一个更高效的方案来解决问题。
问题的核心是 如何计算一个数的因子数量。
因子数量公式
如果一个数 x 的质因子分解为：
x=p1^e1 * p2^e2...* pk^ek
则 x 的因子数量可以表示为：
因子数量=(e1+1)×(e2+1)×⋯×(ek+1)
因此，计算 f(n)的因子数量只需要知道它的质因子分解。
递推式分析
根据题意：
f(i)=f(i−1)×f(i−2)×c^d
- 质因子累积：f(i)的质因子来源于 f(i−1)、f(i−2) 和 c^d 的质因子。
- 我们只需要存储每一项的质因子及其指数，而不是存储实际的数值。
算法实现
- 质因子分解： 使用试除法将一个数分解为质因子及其指数。例如，分解 12得到 {2:2,3:1}。
- 合并质因子： 递推计算时，将两个数的质因子指数相加。例如，合并 {2:2,3:1} 和 {2:1,5:1} 得到 {2:3,3:1,5:1}。
- 因子数量计算： 根据质因子指数计算因子数量，并在每次操作中对 10^9 + 7 取模。
- 递归迭代： 通过存储 f(1) 和 f(2) 的质因子信息，利用递推关系不断更新到 f(n)。
代码实现
def solution(a: int, b: int, c: int, d: int, n: int) -> int:
MOD = 10**9 + 7
def prime_factorization(x):
factors = {}
d = 2
while d * d <= x:
while x % d == 0:
factors[d] = factors.get(d, 0) + 1
x //= d
d += 1
if x > 1:
factors[x] = factors.get(x, 0) + 1
return factors
def multiply_factors(f1, f2):
result = f1.copy()
for p, exp in f2.items():
result[p] = result.get(p, 0) + exp
return result
def count_factors(factors):
result = 1
for exp in factors.values():
result = result * (exp + 1) % MOD
return result
if n == 1:
return count_factors(prime_factorization(a))
if n == 2:
return count_factors(prime_factorization(b))
f1 = prime_factorization(a)
f2 = prime_factorization(b)
c_power_d = prime_factorization(c**d)
for _ in range(3, n + 1):
f_next = multiply_factors(multiply_factors(f1, f2), c_power_d)
f1, f2 = f2, f_next
return count_factors(f2)
if __name__ == '__main__':
print(solution(1, 2, 3, 4, 3) == 10)
print(solution(2, 3, 5, 2, 4) == 30)
print(solution(1, 1, 2, 1, 5) == 5)
代码解析
核心函数
-
prime_factorization(x)：- 使用试除法分解数 xxx 的质因子。
- 输出字典表示质因子及其对应的指数。
-
multiply_factors(f1, f2)：- 合并两个质因子字典，将相同质因子的指数相加。
-
count_factors(factors)：- 根据质因子指数计算因子数量，并对 MODMODMOD 取模。
-
主函数
solve：- 初始化 f(1)f(1)f(1) 和 f(2)f(2)f(2) 的质因子。
- 根据递推公式计算质因子，最终得到第 nnn 项的因子数量。
复杂度分析
-
时间复杂度：
- 质因子分解：单次复杂度为 O(根号x)。
- 递推计算：进行 n−2次递推，每次操作处理质因子指数，因此总体复杂度为 O(n×根号c^d)。
-
空间复杂度：
- 使用字典存储质因子，空间复杂度与质因子数量成正比。
总结
通过将递推问题转化为质因子分解问题，我们避免了直接计算大数值，从而大大降低了计算复杂度。
