问题描述
小C希望构造一个包含n个元素的数组，且满足以下条件：
- 数组中的所有元素两两不同。
- 数组所有元素的最大公约数为
k。 - 数组元素之和尽可能小。
任务是输出该数组元素之和的最小值。
思路分析
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最大公约数为 k：
- 首先，题目明确规定数组中所有元素的最大公约数是 k。这意味着数组中的所有元素必须是 k 的倍数。即数组中的元素应该是 k,2k,3k,4k,...。
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元素两两不同：
- 题目中要求数组的元素是两两不同的，因此我们不能选重复的数字。例如，如果我们选择了 k，就不能再次选择 k，同理，选择 2k 后不能再选 2k。
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元素之和尽可能小：
- 为了让元素的和尽可能小，我们应该选择最小的 n 个 k 的倍数。最小的 n 个数就是 k,2k,3k,…，nk，因为这是所有符合条件的数字中最小的。
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求和公式：
- 数组的元素和就是这些最小的 n 个 k 的倍数的和： k+2k+3k+...+nk 我们可以将其提取出公因数 k，得到： k×(1+2+3+...+n)
- 1 到 nnn 的和是一个已知的公式： Sum=n×(n+1)/2
- 因此，最终的数组元素和为： k×n×(n+1)/2
解题步骤
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理解问题的要求：
- 我们需要选择 n 个不同的数，这些数都是 k 的倍数，并且这些数的和要尽量小。
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选择最小的 n 个 k 的倍数：
- 最小的 n 个 k 的倍数就是 k,2k,3k,…,nk这样可以保证它们的和最小。
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计算和：
- 用公式 k×n×(n+1)/2 来计算最小元素和。
示例
样例 1
- 输入：
n = 3, k = 1 - 选择最小的 3 个数：1, 2, 3
- 它们的和是：1 + 2 + 3 = 6
- 输出：6
样例 2
- 输入：
n = 2, k = 2 - 选择最小的 2 个数：2, 4
- 它们的和是：2 + 4 = 6
- 输出：6
样例 3
- 输入：
n = 4, k = 3 - 选择最小的 4 个数：3, 6, 9, 12
- 它们的和是：3 + 6 + 9 + 12 = 30
- 输出：30
代码实现
def solution(n: int, k: int) -> int:
# 计算1到n的和
total_sum = n * (n + 1) // 2
# 最小元素和 = k * (1 + 2 + 3 + ... + n)
return k * total_sum
if __name__ == '__main__':
print(solution(n = 3, k = 1) == 6)
print(solution(n = 2, k = 2) == 6)
print(solution(n = 4, k = 3) == 30)
代码解读
在这段代码中：
- 我们首先计算了 1 + 2 + ... + n 的和，即使用了常见的公式： Sum=n×(n+1)/2
- 然后，将这个和乘以 k，得到了最小的元素和。
- 最终，返回计算结果。
知识总结
数学知识点
- 等差数列求和公式：题目中的 1+2+3+...+n 是一个简单的等差数列，它的和可以通过公式 Sum=n×(n+1)/2来计算，这是我们在求解过程中使用的一个重要公式。
- 最小公倍数和最大公约数：在处理最大公约数为 k 的问题时，我们知道数组的元素必须是 k 的倍数，而选取最小的 n 个倍数能够确保元素之和最小。
编程技巧
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利用数学公式优化计算：通过等差数列求和公式，我们避免了循环累加的复杂度，直接得到结果，优化了性能。
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理解问题的数学本质：面对这类问题时，首先要弄清楚数学上的规律和公式，尤其是常见的等差数列求和等知识。
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提升自己的数学基础：解决这类问题时，掌握一些基本的数学公式和概念能帮助我们更快速地找到解决方案。
总之，通过这道题，我深刻体会到数学思维在编程中的重要性。掌握一些基本的数学公式可以让我们在解决问题时更加得心应手，提升编程效率。
