问题描述
小U拥有一个由0和1组成的字符串，她可以进行最多k次操作，每次操作可以交换相邻的两个字符。目标是通过这些操作，使得最终得到的字符串字典序最小。
例如，小U当前有一个字符串 01010，她最多可以进行 2 次相邻字符交换操作。通过这些操作，她可以将字符串调整为 00101，这是可以通过不超过2次操作得到的字典序最小的字符串。
现在，小U想知道，经过最多k次操作后，能够得到的字典序最小的字符串是什么。
测试样例
样例1：
输入：
n = 5, k = 2, s = "01010"
输出：'00101'
样例2：
输入：
n = 7, k = 3, s = "1101001"
输出：'0110101'
样例3：
输入：
n = 4, k = 1, s = "1001"
输出：'0101'
思路分析
-
目标： 我们希望以最少的操作次数，将'0'移动到靠近字符串左侧的位置，使得字符串尽可能字典序最小。
-
操作限制： 每次操作只能交换相邻字符，并且最多可以进行 kkk 次操作。
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字典序的本质：
- 字典序的大小本质上是字符串在排序中的位置。例如，
00101 < 01010，因为第一个字符开始的比较结果已经决定了顺序。 - 因此，为了使字典序最小，我们需要尽量将更多的'0'尽早地移动到左边。
- 字典序的大小本质上是字符串在排序中的位置。例如，
-
局部贪心策略：
- 我们通过每次操作将某个靠右的'0'向左“挪动”，这个挪动是局部最优的，能够在当前位置尽快摆正一个'0'。
- 这个局部贪心在实际操作中会导致一个逐渐逼近全局最优解的过程，随着 kkk 次操作逐渐消耗，结果逐步接近最终目标字符串。
-
贪心有效性证明：
- 假设贪心未能使结果字典序最小，存在另一种更优解。那么这种解必然是某些字符在更靠左的位置。
- 但贪心策略每次都选择将最近的'0'尽可能早地移动到当前可用最左位置，所以其行为实际上等效于直接寻找全局最优解。
-
实现细节：
- 遍历字符串，寻找每个'0'的最佳位置。
- 计算需要的操作次数：如果当前'0'在索引 iii，它想移动到位置 jjj，需要 j−ij - ij−i 次操作。
- 如果 j−i≤kj - i \leq kj−i≤k，将该'0'直接移动到目标位置，并更新 kkk 和字符串；否则停止移动。
-
复杂度：
- 时间复杂度：O(n2)O(n^2)O(n2)，最坏情况下每个字符需要与所有其他字符交换。
- 空间复杂度：O(n)O(n)O(n)，用于存储结果。
思路拓展
1. 贪心策略与堆优化
当前的解法是逐字符贪心，这在最坏情况下可能达到 O(n2)O(n^2)O(n2) 的复杂度。如果我们希望进一步优化，可以用 堆（Heap） 或其他更高效的数据结构：
- 用最小堆存储所有的'0'的位置，优先将堆顶（最靠近目标位置的'0'）移动到目标位置。
- 每次移动后更新堆中剩余'0'的位置，复杂度可以降低到 O(nlogn)O(n \log n)O(nlogn)。
2. 动态规划解法
另一种解法是用 动态规划 思路。我们可以将问题转化为：
-
状态定义：
dp[i][j]表示前 iii 个字符中，用 jjj 次操作可以得到的字典序最小字符串。 -
状态转移：
- 如果当前不移动字符：
dp[i][j] = dp[i-1][j] + s[i]； - 如果移动字符：找到所有可能将字符移动到位置 iii 的方案，选择操作次数最少的一种。
- 如果当前不移动字符：
-
结果获取：
dp[n][k]即为最终结果。
这种方法在 kkk 较小时表现优越，但对于 k≈n2k \approx n^2k≈n2 的情况复杂度会显得较高。
3. 与最小交换问题的关系
该问题与“最小交换次数使数组有序”问题有一定联系，区别在于这里的操作仅允许交换相邻字符。可以尝试使用以下方法分析：
- 构造目标字符串（将所有'0'移到左边）。
- 比较初始字符串与目标字符串，逐步减少两者之间的偏差。
- 利用 BFS 或 DFS 搜索所有可能的操作路径，找到操作次数最小的解。
优化与变种问题
1. 操作次数有限的其他限制
如果限制允许交换的字符种类（如只允许'1'交换到更后的位置），则可以引入更复杂的规则判断策略。
2. 多次执行问题
如果问题要求多次重复类似操作，可以考虑提前缓存结果或者优化重复子问题的解决方案。
3. 多字符串比较
如果有多个字符串和不同的 kkk 值，如何找到最优解组合？这可能涉及排序与多维动态规划的组合分析。
代码详解
def solution(n: int, k: int, s: str) -> str:
s = list(s) # 转为列表以便修改
i = 0 # 指向当前处理的字符位置
for j in range(n):
if s[j] == '0':
# 计算将当前 0 移动到位置 i 所需的交换次数
swaps_needed = j - i
# 如果剩余的 k 足够进行移动
if k >= swaps_needed:
# 移动该 0 到位置 i
s.pop(j)
s.insert(i, '0')
# 更新 k 和 i
k -= swaps_needed
i += 1
else:
# 如果 k 不足以移动到位置 i，则移动到 k 所允许的最远位置
s.pop(j)
s.insert(j - k, '0')
break
return ''.join(s)
if __name__ == '__main__':
print(solution(5, 2, "01010") == '00101')
print(solution(7, 3, "1101001") == '0110101')
print(solution(4, 1, "1001") == '0101')
总结
这类题目本质上是一个关于局部最优到全局最优的动态调整过程。贪心算法因为其直接和高效的特性，在这类邻近交换、字典序调整的问题中非常适用。而通过动态规划、堆优化或其他高级算法，我们还能进一步提升复杂问题的求解能力。
同时，这道题还可以引申到许多更复杂的问题（如部分排序、字符串匹配等），使得其学习与理解价值进一步提升！
