在豆包上刷完这么多题之后，我发现豆包没有特意为回溯算法分类，就也很少会想到使用回溯算法，所以我今天就来总结一下回溯算法的特性，以及剖析回溯中最经典的八皇问题。
回溯算法概述
回溯算法是一种通过尝试所有可能的解来解决问题的算法设计方法。它是一种系统性的搜索算法，适合用来解决组合优化问题、排列问题、子集问题等。回溯的核心思想是“探索-回退”，在搜索过程中记录路径，当发现当前路径无法满足条件时，撤销最后一步的选择，回退到上一步继续探索。
回溯算法的特点
- 穷举所有可能性： 回溯算法会遍历所有可能的解，确保不会遗漏任何一种情况。
- 剪枝优化： 在搜索的过程中，通过条件判断提前终止不符合要求的分支，减少不必要的计算。
- 状态恢复： 每次尝试一个可能的解后，在递归返回时撤销当前尝试（即“回退”），以保证其他分支的探索不受影响。
- 递归实现： 回溯一般通过递归实现，用递归栈保存搜索的状态和路径。
回溯算法的基本框架
void backtrack(参数列表) {
// 1. 判断是否满足结束条件，若满足则保存解或返回
if (满足结束条件) {
保存解;
return;
}
// 2. 遍历所有可能的选择
for (选择 : 所有可能的选择) {
// 3. 做出选择
做出选择;
// 4. 递归进入下一层
backtrack(参数列表);
// 5. 撤销选择（回溯）
撤销选择;
}
}
回溯算法的关键步骤
定义解空间： 确定问题的解空间，即所有可能的候选解的集合。例如：
- 子集问题： 解空间是所有子集。
- 排列问题： 解空间是数组的全排列。
- 图问题： 解空间是所有可能的路径。
递归实现：
按照当前状态递归地探索下一步的可能性，逐步缩小问题规模。
约束条件（剪枝）：
在递归的过程中检查是否满足约束条件，不满足则提前返回。
结果收集：
如果当前路径满足问题的解约束，将其保存。
回退：
在返回上一步时撤销当前的选择，恢复状态。
回溯算法的优缺点
优点：
- 实现简单： 通过递归和状态恢复，算法逻辑清晰。
- 全面性： 可以保证找到所有可能的解。
缺点：
- 效率低： 在最坏情况下需要穷举所有解，时间复杂度通常是指数级。
- 依赖剪枝： 如果没有有效的剪枝策略，可能会导致不必要的计算，影响性能。
总结
回溯算法适用于问题规模较小、需要找到所有解的场景。为了提升效率，关键是设计有效的剪枝条件以及控制递归状态。熟练掌握回溯框架后，可以快速应用到各种组合、排列、路径等问题中。
八皇问题
概述
八皇后问题是经典的回溯算法问题之一。问题的描述是：在 8×8 的国际象棋棋盘上放置 8 个皇后，使得每个皇后都不能攻击其他任何皇后。皇后可以横向、纵向和对角线攻击，因此解需要满足：
- 每行只能有一个皇后。
- 每列只能有一个皇后。
- 每条对角线只能有一个皇后。
解题思路
八皇后问题可以通过回溯算法来解决。解题的核心思想是：
- 按行进行递归，每次尝试在当前行放置一个皇后。
- 对于当前行的每个列，检查是否满足放置条件（不与已有皇后冲突）。
- 如果满足条件，放置皇后并递归处理下一行。
- 如果下一行无法放置，回溯到上一步，撤销皇后的位置，尝试其他可能。
代码实现
#include <vector>
#include <string>
#include <iostream>
using namespace std;
// 全局结果保存
vector<vector<string>> results;
void backtrack(int row, vector<string>& board, vector<bool>& cols, vector<bool>& diag1, vector<bool>& diag2) {
// 如果放置完成，将棋盘加入结果
if (row == board.size()) {
results.push_back(board);
return;
}
int n = board.size();
for (int col = 0; col < n; col++) {
// 检查列、主对角线、副对角线是否被占用
if (cols[col] || diag1[row + col] || diag2[row - col + n - 1]) continue;
// 做选择
board[row][col] = 'Q'; // 放置皇后
cols[col] = true; // 标记列
diag1[row + col] = true; // 标记主对角线
diag2[row - col + n - 1] = true; // 标记副对角线
// 递归处理下一行
backtrack(row + 1, board, cols, diag1, diag2);
// 撤销选择
board[row][col] = '.'; // 移除皇后
cols[col] = false;
diag1[row + col] = false;
diag2[row - col + n - 1] = false;
}
}
vector<vector<string>> solveNQueens(int n) {
// 初始化棋盘
vector<string> board(n, string(n, '.'));
vector<bool> cols(n, false); // 标记列
vector<bool> diag1(2 * n - 1, false); // 标记主对角线
vector<bool> diag2(2 * n - 1, false); // 标记副对角线
// 回溯求解
backtrack(0, board, cols, diag1, diag2);
return results;
}
int main() {
int n = 8; // 八皇后
vector<vector<string>> solutions = solveNQueens(n);
// 打印结果
for (const auto& solution : solutions) {
for (const auto& row : solution) {
cout << row << endl;
}
cout << endl;
}
return 0;
}
拓展
- 八皇后是 n=8n=8n=8 的特例，可以扩展到任意大小的棋盘。
- 如果只关心有多少种解法，可以省略棋盘保存逻辑，仅统计解的数量。
- 可以为问题添加其他约束（如对称性、特定位置）。
