14.数组元素之和最小化 | 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小C想构造一个满足特定条件的数组，要求如下：

1. 数组中的所有元素两两不同。
2. 数组所有元素的最大公约数为 k。
3. 数组元素之和尽可能小。

任务是输出该数组元素之和的最小值。

测试样例

样例 1

输入：n = 3 ,k = 1

输出：6

样例 2

输入：n = 2 ,k = 2

输出：6

样例 3

输入：n = 4 ,k = 3

输出：30

解题思路分析

1. 条件分解

为了满足题目要求：

• 元素的最大公约数为 $k$：说明数组中的每个元素都必须是 $k$ 的倍数。例如，如果 $k = 2$，数组可能是 $[2, 4, 6, \ldots]$。
• 元素两两不同：要求所有元素不重复，且必须选择尽可能小的值。
• 元素和尽可能小：为了最小化总和，需要选择数组的 $n$ 个最小元素。

2. 解法设计

结合以上分析，可以设计如下解法：

1. 从 $k$ 开始，依次选取 $k$、$2k$、$3k$、...、$nk$ 作为数组的元素。这些元素既是 $k$ 的倍数，又是递增的，保证了两两不同。

2. 求和：这些元素的和为： $k + 2k + 3k + \ldots + nk = k \cdot (1 + 2 + 3 + \ldots + n)$

   等差数列求和公式： $1 + 2 + 3 + \ldots + n = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

   所以总和为： $k \cdot \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

3. 计算最小和

通过以上公式，可以直接计算出数组元素之和的最小值。

代码实现

以下是代码实现：

def solution(n: int, k: int) -> int:
    # 使用公式直接计算
    return k * (n * (n + 1)) // 2

if __name__ == '__main__':
    print(solution(n = 3, k = 1) == 6)
    print(solution(n = 2, k = 2) == 6)
    print(solution(n = 4, k = 3) == 30)

知识点总结

1. 最大公约数的性质

• 如果数组中所有元素的最大公约数为 $k$，则每个元素必须是 $k$ 的倍数。
• 将问题转化为操作倍数关系时，可以有效减少不必要的复杂性。

2. 等差数列求和公式

$S = \frac{n \cdot (n + 1)}{2}$

3. 数学与编程结合

这种题目利用数学公式可以快速推导出结果，避免了复杂的遍历和冗余计算。实现过程中，核心是将数学推导的结果直接转化为程序逻辑。

思考与优化

1. 时间复杂度分析

由于仅涉及公式计算，代码的时间复杂度为 $O(1)$。

2. 边界条件

需要注意以下边界情况：

• $n = 1$：只有一个元素 $k$，总和即为 $k$。
• $k = 1$：数组为 $[1, 2, 3, \ldots, n]$，总和为普通的等差数列求和。
• 较大 $n$ 和 $k$：由于公式直接计算，能够处理非常大的输入。

3. 通用性扩展

如果增加其他限制条件（例如数组中的某些值不能被选取），问题可能变得更加复杂，需要额外设计方案。但当前问题的数学性质使得解法简洁优雅。