刷题相关知识一【栈与卡特兰数】| 豆包MarsCode AI刷题140：套碗游戏的取碗顺序问题（二）

140：套碗游戏的取碗顺序问题（二） | 栈与卡特兰数

今天我们来聊一聊，豆包MarsCode AI刷题中【第140道题：套碗游戏的取碗顺序问题（二）】所涉及到的知识点。

问题描述

小F正在玩一个套碗的游戏，每个碗都有一个编号，从1到n，它们从大到小被套在一根木棍上。小F只能从木棍上取最上面的碗，每次只能取一个。现在你需要计算总共有多少种取碗的顺序。

例如，对于2个碗，取碗的顺序可以是 2 1 或 1 2，这两种顺序都是合法的。而对于3个碗，给定顺序 3 1 2 不可能通过合法操作实现，因此该顺序不可行。

这道题涉及到了两个知识点：1.栈 2.卡特兰数。接下来我们来逐个讲一讲。

1. 栈

栈大家应该都不陌生，它是一种数据结构，遵循 后进先出（LIFO, Last In First Out） 的原则。即，最新加入的元素最先被移除。

1.1 栈的基本特点

后进先出（LIFO）
- 栈就像一叠盘子，最后放上去的盘子是第一个被拿走的。
操作限制
- 只能在一端进行元素的插入（入栈，Push） 和移除（出栈，Pop） 操作。
顶端（Top）
- 栈的操作只能发生在栈的顶部。

1.2 栈的基本操作

Push（入栈）
向栈的顶部添加一个元素。
示例代码（Python）：
```
stack = []
stack.append(10)  # 入栈操作，将10压入栈中
```

Pop（出栈）
从栈的顶部移除一个元素。
示例代码：

top_element = stack.pop()  # 出栈操作，移除并返回顶部元素

Peek（查看栈顶元素）
查看但不移除栈顶元素。
示例代码：
```
top_element = stack[-1]  # 查看栈顶元素
```
IsEmpty（判断栈是否为空）
检查栈中是否还有元素。
示例代码：
```
is_empty = len(stack) == 0  # 如果栈为空，则返回True
```

2. 卡特兰数（Catalan Number）

相较于栈，卡特兰数对一些人来说可能比较陌生，但这道题实际上是卡特兰数的应用。

2.1 什么是卡特兰数？

卡特兰数是一个重要的数学序列，广泛用于组合数学和算法中。它描述了许多问题中的计数结果，例如括号匹配方案、二叉树结构、栈排序、网格路径等。

2.2 对应的序列为

卡特兰序列.png

2.3 第 n 项 Hn 的值为

其满足递推关系：

题目解法

因此，这道题可以用递推公式来实现：

def solution(M: int) -> int: 
# 初始化卡特兰数的数组 
    catalan = [0] * (M + 1) 
    catalan[0] = 1 # C_0 = 1 
   
    # 递推计算卡特兰数 
    for n in range(1, M + 1): 
        for i in range(n): 
            catalan[n] += catalan[i] * catalan[n - 1 - i] 
    
    return catalan[M]