问题描述
小M有张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 ，背面是 。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 取模。
例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。
方法背景
动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种算法思想，用于解决具有重叠子问题和最优子结构特性的问题。动态规划通常用于求解最优化问题，特别是在图论中的最短路径问题、网络流问题、资源分配问题等。
动态规划的关键步骤通常包括：
• 定义状态：确定状态是什么，以及状态如何影响问题的解。
• 确定状态转移方程：找出如何从一个状态转移到下一个状态。
• 确定边界条件：确定问题的基本情况，即最小的子问题的解。
• 实现算法：根据上述定义，实现算法，通常涉及填充一个表格，表格的行和列代表不同的状态。
• 计算最终结果：从填充好的表格中提取问题的解。
在本题中我们将使用状态规划进行求解。
程序分析
要使用动态规划，首先我们需要定义状态来表示问题。我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，其中i表示考虑的卡牌数量，j表示当前所有选择的数字之和除以3的余数。dp[i][j]的值表示在考虑前i张卡牌时，使得所有选择的数字之和除以3余数为j的方案数量。
我们有以下状态转移方程：
其中a_i和b_i分别是第i张卡牌正面和背面的数字。
由于我们在数据较的情况下需要对级别的数据取模，需要在计算过程中不断取模以避免整数溢出。
下面是详细的步骤：
• 初始化一个大小为(n+1) x 3的数组dp，所有元素初始化为0。dp[0]初始化为1，因为当没有卡牌时，只有一种方案使得模3的余数为0。
• 遍历每张卡牌，对于每张卡牌，更新dp数组。对于每张卡牌的正面和背面数字，更新dp数组中对应的余数状态。
• 在更新dp数组时，需要对每个状态的值进行取模操作。
• 最后，dp[0]的值就是所有方案的数量，因为我们需要和为3的倍数。
测试样例
输入：n = 3 ,a = [1, 2, 3] ,b = [2, 3, 2]
输出：3
输入：n = 4 ,a = [3, 1, 2, 4] ,b = [1, 2, 3, 1]
输出：6
输入：n = 5 ,a = [1, 2, 3, 4, 5] ,b = [1, 2, 3, 4, 5]
输出：32
代码实现
def solution(n: int, a: list, b: list) -> int:
#定义最大数据上限
MOD = 10**9 + 7
# 初始化动态规划数组
dp = [0, 0, 0]
dp[0] = 1 # 初始时，和为0的方案数为1
for i in range(n):
# 计算当前卡牌选择后的新方案数
new_dp = [0, 0, 0]
for r in range(3):
# 对于每个余数r，可以选择a[i]或b[i]
new_dp[(r + a[i]) % 3] = (new_dp[(r + a[i]) % 3] + dp[r]) % MOD
new_dp[(r + b[i]) % 3] = (new_dp[(r + b[i]) % 3] + dp[r]) % MOD
# 更新dp数组
dp = new_dp
# dp[0]就是我们需要的方案数
return dp[0]
if __name__ == '__main__':
print(solution(n = 3, a = [1, 2, 3], b = [2, 3, 2]) == 3) # Output: 3
print(solution(n = 4, a = [3, 1, 2, 4], b = [1, 2, 3, 1]) == 6) # Output: 6
print(solution(n = 5, a = [1, 2, 3, 4, 5], b = [1, 2, 3, 4, 5]) == 32) # Output: 32
详细解析
初始化动态规划数组：
• dp = [0, 0, 0]：这个数组用来存储当前数字之和除以3的余数对应的方案数。dp[0]表示当前和除以3余0的方案数，dp[1]表示余1的方案数，dp[2]表示余2的方案数。初始状态下，只有dp[0]为1，因为没有任何卡牌被选中时，总和为0，这是一个有效的方案。
遍历卡牌：
• for i in range(n)：这个循环遍历每一张卡牌，i代表当前卡牌的索引。
计算新的方案数：
• new_dp = [0, 0, 0]：在每次迭代中，我们创建一个新的new_dp数组来存储更新后的方案数。
• for r in range(3)：这个内层循环遍历所有可能的余数（0,1,2），代表当前总和除以3的余数。
• new_dp[(r + a[i]) % 3] = (new_dp[(r + a[i]) % 3] + dp[r]) % MOD：如果选择当前卡牌的正面，我们将更新余数为(r + a[i]) % 3的方案数。这里使用取模操作来确保余数在0到2之间。
• new_dp[(r + b[i]) % 3] = (new_dp[(r + b[i]) % 3] + dp[r]) % MOD：同样，如果选择当前卡牌的背面，我们也会更新余数为(r + b[i]) % 3的方案数。
更新动态规划数组：
• dp = new_dp：在每次迭代结束后，我们将new_dp的值赋给dp，这样dp就包含了考虑当前卡牌后的最新方案数。
时间复杂度
• 外层循环：函数中有一个外层循环，它遍历所有的卡牌，循环次数为n（卡牌的数量）。
• 内层循环：对于每张卡牌，有一个内层循环，它遍历所有可能的余数（0,1,2），循环次数为3。
由于外层循环和内层循环都是固定的，每次迭代都执行固定数量的操作，因此总的时间复杂度是O(n)，其中n是卡牌的数量。
空间复杂度
• 动态规划数组：函数中使用了一个长度为3的数组dp来存储中间结果。这个数组的大小不随卡牌数量n的变化而变化，因此是常数空间。
• 临时数组：在每次迭代中，我们还使用了一个临时数组new_dp，其大小也是固定的，为3。
由于我们只使用了一个固定大小的数组，所以空间复杂度是O(1)，即常数空间复杂度。
综上所述，给定的solution函数的时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)。这意味着随着卡牌数量的增加，函数的运行时间将线性增长，但所需的额外空间保持不变。
