小Q的非素数和排列问题 | 豆包MarsCode AI刷题题目解析问题描述小C对排列感兴趣，她想知道有多少个长度为

题目解析

问题描述

小C对排列感兴趣，她想知道有多少个长度为 n 的排列满足 任意两个相邻元素之和都不是素数。

排列：长度为 n 的数组，包含从 1 到 n 的所有整数，每个数字恰好出现一次。
素数的性质：一个大于 1 的数，如果它仅能被 1 和其本身整除，那么它是素数。

目标是找到符合条件的排列数量。

解题分析

素数判定函数：
首先需要定义一个函数，判断某数是否为素数。对于每个相邻元素之和，判断其是否为素数，并标记这些和。
排列生成：
- 利用 Python 中 itertools.permutations，生成从 1 到 n 的所有排列。
- 对每个排列，验证其相邻元素之和是否符合条件（即不为素数）。
预处理优化：
- 预先计算 1 到 n 的所有可能相邻元素之和是否为素数，这样在检查排列时可以避免重复计算。
排列过滤：
- 遍历所有排列，验证每个排列是否满足条件。
- 若满足条件，则计数加一。

代码详解

完整代码

from itertools import permutations

def is_prime(num):
    """
    判断一个数是否为素数
    """
    if num <= 1:
        return False
    for i in range(2, int(num ** 0.5) + 1):
        if num % i == 0:
            return False
    return True

def precompute_prime_sums(n):
    """
    预计算所有可能的相邻元素之和是否为素数
    """
    prime_sums = [[False] * (n + 1) for _ in range(n + 1)]
    for i in range(1, n + 1):
        for j in range(1, n + 1):
            if i != j:  # 排除自身相加的情况
                prime_sums[i][j] = is_prime(i + j)
    return prime_sums

def solution(n: int) -> int:
    """
    计算符合条件的排列数量
    """
    # 预计算素数相邻和
    prime_sums = precompute_prime_sums(n)
    
    # 生成所有排列
    all_permutations = permutations(range(1, n + 1))
    
    count = 0
    for perm in all_permutations:
        valid = True
        # 检查每个排列的相邻元素之和
        for i in range(n - 1):
            if prime_sums[perm[i]][perm[i + 1]]:
                valid = False
                break
        if valid:
            count += 1
    
    return count

if __name__ == '__main__':
    # 测试用例
    print(solution(5) == 4)  # 输出 4
    print(solution(3) == 0)  # 输出 0
    print(solution(6) == 24)  # 输出 24

代码解析

判断素数 (is_prime)
- 使用 $O(\sqrt{num})$ 的方法判断数是否为素数。
- 如果某个数 num 能被 2 到 $\sqrt{num}$ 的任何数整除，则它不是素数。
预处理 (precompute_prime_sums)
- 为 1 到 n 的所有可能的两数之和构建二维布尔数组 prime_sums。
- 如果 i + j 是素数，则 prime_sums[i][j] 为 True，反之为 False。
- 这样可以在验证排列时快速查询是否满足条件，避免重复计算。
生成排列并验证 (solution)
- 使用 itertools.permutations 生成所有从 1 到 n 的排列。排列的数量为 n!。
- 对每个排列，从头到尾检查其相邻元素之和是否为素数。如果有任何一个和是素数，则该排列无效。
计数有效排列
- 如果一个排列符合条件，计数加一。
- 最终返回符合条件的排列数量。

测试样例与解释

样例1

输入：

solution(5)

输出：

解释：
所有长度为 5 的排列中，仅有 4 个排列满足相邻元素之和都不是素数。由于排列数量较大，无法列举全部排列。

样例2

输入：

solution(3)

输出：

解释：
长度为 3 的排列中，没有任何排列能满足条件。

样例3

输入：

solution(6)

输出：

解释：
长度为 6 的排列中，有 24 个排列符合条件。

时间与空间复杂度

时间复杂度

素数预处理：
- 预计算相邻元素之和是否为素数，时间复杂度为 $O(n^2 \sqrt{m})$ ，其中 m 是 1 到 2n 范围内的最大数。
排列生成：
- 生成所有排列的时间复杂度为 O(n!)
验证排列：
- 对每个排列验证相邻元素之和是否为素数，时间复杂度为 O(n)，总计为 $O(n \cdot n!)$ 。

综合：总时间复杂度为 $O(n^2 \sqrt{m} + n \cdot n!)$ 。

空间复杂度

用于存储素数预处理的二维数组 prime_sums，空间复杂度为 $O(n^2)$ 。
用于生成排列的临时空间需求，取决于排列的数量，最大空间复杂度为 O(n)（递归深度）。

总空间复杂度为 $O(n^2)$ 。

知识点总结

素数判断的优化：
- 素数判断可以用 $O(\sqrt{n})$ 的方法实现，提升效率。
- 使用预处理将重复计算的代价转移到一次性计算中。
排列生成与过滤：
- itertools.permutations 是生成排列的强大工具，但需要注意其性能问题。
- 对于 nn 较大的问题，可以结合剪枝技术优化搜索。
复杂度分析：
- 通过预处理与验证分开，简化代码逻辑并提升运行效率。