题目解析
题目描述
小C有一个整数数组，想知道如果从数组中删除一个元素后，能得到长度为 k 的子数组，其子数组和的最大值是多少。如果数组的大小恰好为 k，则不需要删除任何元素。
输入：
- 一个整数 n：表示数组的长度；
- 一个整数 k：表示目标子数组的长度；
- 一个整数数组 nums：表示原始数组。
输出：
- 删除一个元素后，能够得到的长度为 k子数组的最大和。
测试样例
- 示例 1：
输入：n=5,k=3,nums=[2,1,3,−1,4]
输出：8 解释：删除 −1后，子数组 [1,3,4]的和为 8，是最大值。 - 示例 2：
输入：n=6,k=2,nums=[−1,−1,5,−2,3,4]
输出：8
解释：删除 −2 后，子数组 [5,3] 的和为 8。
题目分析
关键思路
-
直接求解：
- 对于每一个元素，假设将其从数组中删除，求剩下数组的长度为 k 的子数组的最大和。
- 遍历每一种可能，选出最大值。
-
前缀和优化：
- 使用前缀和数组快速计算子数组和。
- 子数组和计算公式：subsum=prefix[j]−prefix[i−1]。
-
边界条件：
- 如果 n=k，不需要删除元素，直接求整个数组的和。
算法步骤
-
前缀和数组：
- 构造一个前缀和数组，用于快速计算子数组的和。
-
遍历删除操作：
- 模拟删除数组中的每一个元素，构造删除后的数组。
- 对于删除后的数组，找到长度为 k的子数组和的最大值。
-
记录结果：
- 每次删除操作后，记录长度为 k 子数组和的最大值，并更新全局最大值。
代码详解
以下是给出的 Java 实现代码：
public class Main {
public static int solution(int n, int k, int[] nums) {
// 前缀和数组
int[] num = new int[n + 1];
int[] temp = new int[n - 1];
int max = Integer.MIN_VALUE;
int z = 0;
// 构造前缀和数组
for (int i = 1; i <= n; i++) {
num[i] = nums[i - 1] + num[i - 1];
}
// 如果数组长度恰好为 k，直接返回整个数组和
if (n == k) {
return num[n];
}
// 遍历每一个删除的元素
for (int i = 0; i < n; i++) {
z = 0;
// 删除第 i 个元素，构造删除后的数组 temp
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (i != j) {
temp[z++] = nums[j];
}
}
// 计算删除后的数组的最大子数组和
if (subNUm(temp, k) > max) {
max = subNUm(temp, k);
}
}
return max;
}
// 计算长度为 k 的子数组的最大和
public static int subNUm(int[] nums, int k) {
int max = Integer.MIN_VALUE;
int[] num = new int[nums.length + 1];
// 构造前缀和数组
for (int i = 1; i <= nums.length; i++) {
num[i] = nums[i - 1] + num[i - 1];
}
// 通过前缀和快速计算子数组和
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (i + k <= nums.length) {
if (num[i + k] - num[i] > max) {
max = num[i + k] - num[i];
}
} else {
break;
}
}
return max;
}
public static void main(String[] args) {
// 测试样例
System.out.println(solution(5, 3, new int[] { 2, 1, 3, -1, 4 }) == 8);
}
}
代码解析
-
主函数
solution：- 构造前缀和数组，用于快速计算子数组和。
- 遍历数组，删除每个元素，并调用
subNum函数计算删除后的数组的最大子数组和。
-
辅助函数
subNum：- 输入一个数组和目标长度 k，通过前缀和方法快速计算长度为 k 的子数组的最大和。
-
关键点：
- 前缀和数组的构造：通过累积和快速计算子数组和。
- 删除元素的模拟：使用双循环实现删除操作，效率稍低，但逻辑简单。
复杂度分析
-
时间复杂度：
- 主函数中有两层循环，分别是删除元素的 O(n) 和计算子数组和的 O(n−k)。因此总时间复杂度为 O(n^2)。
-
空间复杂度：
- 额外的前缀和数组和临时数组，占用 O(n)空间。
虽然时间复杂度较高，但在数据规模有限时表现良好。如果需要进一步优化，可以使用滑动窗口技术减少部分重复计算。
个人分析与优化
-
滑动窗口优化：
- 在删除元素后，可以直接用滑动窗口技术代替前缀和来计算子数组和，减少重复计算。
-
特殊情况优化：
- 当数组长度 n=k时，直接返回数组和，避免不必要的计算。
-
改进思路：
- 如果 k较大，可以优先删除负数元素，保证剩下的子数组和更高。
总结
本题综合了前缀和、滑动窗口等算法思想，涉及数组的局部优化和全局搜索。通过本文，我们学习到以下内容：
- 如何使用前缀和快速求解子数组和。
- 如何通过模拟删除操作解决全局优化问题。
- 如何分析代码的复杂度，并寻找优化空间。
这类问题在实际场景中有广泛应用，比如子序列优化、滑动窗口统计等，掌握这些技巧能帮助我们更高效地解决类似问题！
