环形数组中的最大贡献值（青训营X豆包MarsCode） ｜ 豆包MarsCode AI 刷题

问题描述

小S拿到了一个长度为 nn 的环形数组，并定义了两个下标 ii 和 jj 的贡献值公式为：
f(i, j) = (a_i + a_j) × dist(i, j)
其中 dist(i, j) 是下标 ii 和 jj 在数组中的最短距离。小S希望找到一对下标，使得它们的贡献值尽可能大。环形数组的特点是最左和最右的元素也是相邻的。你需要帮助她找到最大贡献值。

例如，给定数组 [1, 2, 3]，由于是环形数组，任意两个下标的距离都是1，因此 f(2,3)=(2+3)×1=5f(2,3)=(2+3)×1=5。

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测试样例

样例1：

输入：n = 3,a = [1, 2, 3]
输出：5

样例2：

输入：n = 4,a = [4, 1, 2, 3]
输出：12

样例3：

输入：n = 5,a = [1, 5, 3, 7, 2]
输出：24

要解决这个问题，我们需要找到环形数组中的一对下标 (i) 和 (j)，使得它们的贡献值 (f(i, j) = (a_i + a_j) * {dist}(i, j)) 最大。其中，{dist}(i, j) 是下标 i 和 j 在数组中的最短距离。

思路

1. 计算最短距离：

• • 对于环形数组，下标 (i) 和 (j) 之间的最短距离可以通过以下方式计算：

{dist}(i, j) = min(|i - j|, n - |i - j|)

-   这是因为环形数组中，最短距离要么是直接的距离，要么是绕过数组另一端的距离。

2. 枚举所有可能的下标对：

• • 我们需要枚举所有可能的下标对 ((i, j))，并计算它们的贡献值。
  • 由于数组是环形的，我们需要考虑所有可能的下标对，包括跨越数组两端的情况。

3. 优化计算：

• • 直接枚举所有可能的下标对的时间复杂度是 (O(n^2))，对于较大的 (n) 可能会超时。
  • 我们可以考虑使用前缀和和后缀和来优化计算，但在这个问题中，直接枚举所有可能的下标对已经足够高效。

代码实现

def max_contribution(n, a):
    max_contrib = 0
    
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            if i != j:
                dist = min(abs(i - j), n - abs(i - j))
                contrib = (a[i] + a[j]) * dist
                max_contrib = max(max_contrib, contrib)
    
    return max_contrib

# 测试样例
print(max_contribution(3, [1, 2, 3]))  # 输出：5
print(max_contribution(4, [4, 1, 2, 3]))  # 输出：12
print(max_contribution(5, [1, 5, 3, 7, 2]))  # 输出：24

解释

1. 计算最短距离：

• • dist = min(abs(i - j), n - abs(i - j)) 计算下标 (i) 和 (j) 之间的最短距离。

2. 计算贡献值：

• • contrib = (a[i] + a[j]) * dist 计算下标 (i) 和 (j) 的贡献值。

3. 更新最大贡献值：

• • max_contrib = max(max_contrib, contrib) 更新最大贡献值。

4. 返回结果：

• • 最后返回最大贡献值 max_contrib。

时间复杂度

• 直接枚举所有可能的下标对的时间复杂度是 (O(n^2))。
• 对于较小的 (n)，这个复杂度是可以接受的。如果 (n) 较大，可以考虑进一步优化，例如使用滑动窗口或动态规划等方法。但对于大多数实际应用场景，直接枚举已经足够高效。