问题描述
小U是一位古生物学家，正在研究不同物种之间的血缘关系。为了分析两种古生物的血缘远近，她需要比较它们的DNA序列。DNA由四种核苷酸A、C、G、T组成，并且可能通过三种方式发生变异：添加一个核苷酸、删除一个核苷酸或替换一个核苷酸。小U认为两条DNA序列之间的最小变异次数可以反映它们之间的血缘关系：变异次数越少，血缘关系越近。
你的任务是编写一个算法，帮助小U计算两条DNA序列之间所需的最小变异次数。
解题思路
要计算两条DNA序列之间的最小变异次数，我们可以使用动态规划算法来求解编辑距离问题。以下是具体步骤：
-
初始化：创建一个二维数组
dp，其中dp[i][j]表示将第一个序列的前i个字符转换为第二个序列的前j个字符所需的最小变异次数。 -
边界条件：当其中一个序列为空时，变异次数等于另一个序列的长度。因此，
dp[0][j] = j和dp[i][0] = i。 -
状态转移：对于
dp[i][j]，我们需要考虑以下四种情况：- 如果
str1[i-1] == str2[j-1]，则dp[i][j] = dp[i-1][j-1]。 - 如果
str1[i-1] != str2[j-1]，则dp[i][j] = min(dp[i-1][j-1], dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + 1。
- 如果
-
结果：
dp[m][n]即为两条DNA序列之间的最小变异次数，其中m和n分别是两个序列的长度。
Code
``
# 获取两个DNA序列的长度
m, n = len(dna1), len(dna2)
# 创建一个 (m+1) x (n+1) 的二维数组 dp
dp = [[0] * (n + 1) for _ in range(m + 1)]
# 初始化 dp 数组的第一行和第一列
for i in range(m + 1):
dp[i][0] = i
for j in range(n + 1):
dp[0][j] = j
# 填充 dp 数组
for i in range(1, m + 1):
for j in range(1, n + 1):
if dna1[i - 1] == dna2[j - 1]:
dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1]
else:
dp[i][j] = min(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1], dp[i - 1][j - 1]) + 1
# 返回最终结果
return dp[m][n]
知识总结
动态规划（Dynamic Programming，简称DP）是一种算法设计技术，它通过将复杂问题分解为更小的子问题，并存储这些子问题的解（通常存储在表格或数组中），以避免重复计算相同的子问题，从而优化问题的求解过程。
1. 基本概念
- 子问题：动态规划通常涉及将一个复杂问题分解成一系列更简单的子问题。这些子问题通常与原问题有相同的形式，但是规模更小。
- 重叠子问题：在递归算法中，相同的子问题会被多次计算。动态规划通过存储这些子问题的解来避免重复计算。
- 最优子结构：问题的最优解包含其子问题的最优解。这意味着可以通过组合子问题的最优解来构造原问题的最优解。
2. 动态规划的过程
- 定义状态：状态是指问题在某一时刻的某种描述。在动态规划中，状态通常对应于子问题。
- 状态转移方程：这是动态规划的核心，它描述了如何从一个或多个已知状态（子问题的解）转移到下一个状态。
- 边界条件：这是问题的基本情况，它们不需要进一步分解，可以直接得到解。
3. 动态规划的步骤
- 初始化：确定所有可能的状态，并为这些状态分配存储空间（通常是数组或表格）。
- 边界条件：为最基本的子问题（通常是递归的基例）设定解。
- 状态转移：按照状态转移方程，从边界条件开始，逐步计算出所有状态的解。
- 构造解：如果需要，可以从计算出的状态中构造出原问题的最优解。
