问题描述
小C希望构造一个包含 ( n ) 个元素的数组，且满足以下条件：
- 数组中的所有元素两两不同。
- 数组所有元素的最大公约数为 ( k )。
- 数组元素之和尽可能小。
任务是输出该数组元素之和的最小值。
做题思路
1. 问题分析
- 条件1：数组中的所有元素必须两两不同。
- 条件2：数组所有元素的最大公约数为 ( k )。
- 条件3：数组元素之和尽可能小。
为了满足这些条件，我们可以考虑以下策略：
- 选择最小的 ( n ) 个互不相同的数：为了使数组元素之和尽可能小，我们应该选择最小的 ( n ) 个互不相同的数。
- 确保最大公约数为 ( k )：为了使这些数的最大公约数为 ( k )，我们可以选择 ( k ) 的倍数。具体来说，选择 ( k, 2k, 3k, \ldots, nk )。
2. 关键点
- 选择 ( k ) 的倍数：选择 ( k, 2k, 3k, \ldots, nk ) 这 ( n ) 个数，这些数的最大公约数显然是 ( k )。
- 求和：这些数的和可以通过等差数列求和公式来计算。
3. 解决方案
- 等差数列求和公式：等差数列的前 ( n ) 项和公式为 ( S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) )，其中 ( a_1 ) 是首项，( a_n ) 是第 ( n ) 项。
- 应用到本题：首项 ( a_1 = k )，第 ( n ) 项 ( a_n = nk )，所以前 ( n ) 项和为 ( S_n = \frac{n}{2} \times (k + nk) )。
做题方式
-
计算前 ( n ) 个 ( k ) 的倍数的和：
- 使用等差数列求和公式 ( S_n = \frac{n}{2} \times (k + nk) )。
-
返回结果：
- 计算出的和即为所求的最小值。
详细代码讲解
public class Main {
public static int solution(int n, int k) {
// 使用等差数列求和公式计算前 n 个 k 的倍数的和
int sum = (n * (k + n * k)) / 2;
return sum;
}
public static void main(String[] args) {
// 测试用例
System.out.println(solution(3, 1) == 6); // 输出 6
System.out.println(solution(2, 2) == 6); // 输出 6
System.out.println(solution(4, 3) == 30); // 输出 30
}
}
代码解析
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方法定义：
public static int solution(int n, int k)：定义一个静态方法solution，接收两个整数参数n和k，返回一个整数。
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计算前 ( n ) 个 ( k ) 的倍数的和：
- 使用等差数列求和公式 ( S_n = \frac{n}{2} \times (k + nk) ) 计算前 ( n ) 个 ( k ) 的倍数的和。
int sum = (n * (k + n * k)) / 2;：计算前 ( n ) 个 ( k ) 的倍数的和。
-
返回结果：
return sum;：返回计算出的和。
-
测试用例：
System.out.println(solution(3, 1) == 6);：测试用例1，输出true表示结果正确。System.out.println(solution(2, 2) == 6);：测试用例2，输出true表示结果正确。System.out.println(solution(4, 3) == 30);：测试用例3，输出true表示结果正确。
总结
通过使用等差数列求和公式，我们可以在 ( O(1) ) 时间复杂度内计算出满足条件的数组元素之和的最小值。这种方法不仅高效，而且简洁，非常适合解决这类问题。希望这篇笔记对你有所帮助，如果你有任何疑问或需要进一步的解释，请随时联系我！
扩展思考
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多于一个最大公约数的情况：
- 如果数组中有多于一个最大公约数，如何找到所有可能的数组？
- 一种方法是枚举所有可能的最大公约数，然后分别计算每个最大公约数对应的数组元素之和，选择最小的和。
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扩展到多个数组：
- 如果有多个数组，每个数组中都有一个特定的最大公约数，如何高效地找到所有数组中的最小和？
- 可以考虑将所有数组的最大公约数和元素个数作为输入，然后分别计算每个数组的最小和，最后取所有最小和的和。
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实际应用：
- 这种方法在数学和算法竞赛中非常常见，尤其是在需要高效处理数论问题的情况下。
- 例如，在优化资源分配问题中，可以利用类似的思想来快速找到最优解。
希望这些扩展思考能帮助你更深入地理解这个问题，并激发你在算法领域的探索兴趣。如果你有更多的问题或想法，欢迎随时交流！
