卡牌翻面求和问题

问题描述

小M有 �n 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字，正面是 ��ai​，背面是 ��bi​。小M希望通过选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。你需要告诉小M，一共有多少种不同的方案可以满足这个条件。由于可能的方案数量过大，结果需要对 109+7109+7 取模。

例如：如果有3张卡牌，正反面数字分别为 (1,2)，(2,3) 和 (3,2)，你需要找到所有满足这3张卡牌正面或背面朝上的数字之和可以被3整除的组合数。

问题理解

给定 n 张卡牌，每张卡牌的正反面分别写着不同的数字 a_i 和 b_i。我们需要选择每张卡牌的一面，使得所有向上的数字之和可以被3整除。目标是计算满足条件的所有可能方案数，并对结果取模 10^9 + 7。

数据结构选择

由于我们需要计算所有可能的方案数，并且涉及到对数字之和的模运算，动态规划（DP）是一个合适的选择。我们可以使用一个二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示前 i 张卡牌中，选择某些面使得和模3等于 j 的方案数。

算法步骤

1. 初始化：

   • 创建一个 dp 数组，大小为 (n+1) x 3，其中 dp[0][0] = 1，表示不选任何卡牌时，和为0的方案数为1。

2. 状态转移：

   • 遍历每张卡牌 i（从1到n），对于每张卡牌，考虑其正面 a_i 和背面 b_i。
   • 对于每个可能的模3余数 j（0, 1, 2），更新 dp[i][(j + a_i) % 3] 和 dp[i][(j + b_i) % 3]，分别表示选择正面和背面的情况。

3. 结果计算：

   • 最终答案为 dp[n][0]，表示前 n 张卡牌中，选择某些面使得和模3等于0的方案数。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n)，因为我们只需要遍历每张卡牌一次，并对每个卡牌进行常数次操作。
• 空间复杂度：O(n)，用于存储 dp 数组。

`代码： def solution(n: int, a: list, b: list) -> int: MOD = 10**9 + 7

# 初始化dp数组，dp[i][j]表示前i张卡牌中，选择某些面使得和模3等于j的方案数
dp = [[0] * 3 for _ in range(n + 1)]
dp[0][0] = 1  # 不选任何卡牌时，和为0的方案数为1

# 遍历每张卡牌
for i in range(1, n + 1):
    # 当前卡牌的正面和背面的数字
    num1 = a[i - 1]
    num2 = b[i - 1]
    
    # 更新dp数组
    for j in range(3):
        # 选择正面的情况
        dp[i][(j + num1) % 3] = (dp[i][(j + num1) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD
        # 选择背面的情况
        dp[i][(j + num2) % 3] = (dp[i][(j + num2) % 3] + dp[i - 1][j]) % MOD

# 最终答案为dp[n][0]，表示前n张卡牌中，选择某些面使得和模3等于0的方案数
return dp[n][0]

if name == 'main': print(solution(n = 3, a = [1, 2, 3], b = [2, 3, 2]) == 3) print(solution(n = 4, a = [3, 1, 2, 4], b = [1, 2, 3, 1]) == 6) print(solution(n = 5, a = [1, 2, 3, 4, 5], b = [1, 2, 3, 4, 5]) == 32)`