问题描述
小S在码头租用货船，有 Q 种不同类型的货船可供选择。每种货船有固定的数量 m[i]、租赁成本 v[i] 和最大载货量 w[i]。小S希望在预算 V 元内，租用能够承载最大总货物的货船组合。每种货船的具体信息包括数量、租赁价格和载货量。小S需要你帮忙计算在给定预算下，她能租用的货船的最大总载货量是多少。
Q: 货船的种类数量。V: 李华可用的总预算（单位：元）。ships: 一个列表，其中每个元素是一个元组[m[i], v[i], w[i]]，分别表示第i种货船的数量、租赁价格和每艘货船的最大载货量。
测试样例
样例1：
输入：
Q = 2,V = 10,ships = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]]
输出：32
样例2：
输入：
Q = 3,V = 50,ships = [[5, 10, 20], [2, 20, 30], [3, 15, 25]]
输出：100
样例3：
输入：
Q = 1,V = 100,ships = [[10, 5, 50]]
输出：500
样例4：
输入：
Q = 4,V = 100,ships = [[1, 100, 200], [2, 50, 100], [3, 33, 66], [4, 25, 50]]
输出：200
样例5：
输入：
Q = 2,V = 300,ships = [[100, 1, 1], [50, 5, 10]]
输出：550
问题理解
你需要在给定的预算 V 元内，选择不同类型的货船，使得总载货量最大化。每种货船有数量限制、租赁成本和载货量。
数据结构选择
- 动态规划 (DP)：这是一个典型的背包问题变种，可以使用动态规划来解决。
- DP数组：
dp[j]表示在预算为j元时，能够租用的最大载货量。
算法步骤
- 初始化：创建一个长度为
V+1的 DP 数组，初始值为 0。 - 遍历每种货船：对于每种货船，遍历其数量。
- 更新 DP 数组：从后往前更新 DP 数组，避免重复计算。对于每个预算
j，更新dp[j]为max(dp[j], dp[j - v] + w)，其中v是当前货船的租赁成本，w是当前货船的载货量。 - 返回结果：最终
dp[V]就是在预算V元下的最大载货量。
关键点
- 从后往前更新：这样可以避免在同一轮中重复使用同一艘货船。
- 数量限制：每种货船的数量限制需要在遍历时考虑。
原始的 01背包 01背包的状态转移方程为 f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[j])
i代表对i件物体做决策，有两种方式—放入背包和不放入背包。 j表示当前背包剩余的容量。
转移方程的解释： 创建一个状态矩阵f，横坐标 i 是物体编号，纵坐标 j 为背包容量。 首先将 f 第0行和第0列初始化为0 （代码里面将整个f初始化为0了，其实只初始化第0行和第0列就够了）。这个表示不放物体时最大价值为0 。（物体编号从1开始）
# 初始化 dp 数组
dp = [0] * (V + 1)
# 遍历每种货船
for m, v, w in ships:
# 遍历每种货船的数量
for _ in range(m):
# 从后往前更新 dp 数组，避免重复计算
for j in range(V, v - 1, -1):
dp[j] = max(dp[j], dp[j - v] + w)
# 返回在预算 V 下的最大载货量
return dp[V]
if __name__ == "__main__":
# 你可以添加更多测试用例
ships = [[2, 3, 2], [3, 2, 10]]
ships2 = [[30, 141, 47], [9, 258, 12], [81, 149, 13], [91, 236, 6], [27, 163, 74], [34, 13, 58], [61, 162, 1], [80, 238, 29], [36, 264, 28], [36, 250, 2], [70, 214, 31], [39, 116, 39], [83, 287, 4], [61, 269, 94], [23, 187, 46], [78, 33, 29], [46, 151, 2], [71, 249, 1], [67, 76, 85], [72, 239, 17], [61, 256, 49], [48, 216, 73], [39, 49, 74]]
print(solution(2, 10, ships) == 32)
print(solution(23, 400, ships2) == 1740)
