套碗游戏得取碗顺序（二）| 豆包MarsCode AI刷题

问题描述

小F正在玩一个套碗的游戏，每个碗都有一个编号，从1到n，它们从大到小被套在一根木棍上。小F只能从木棍上取最上面的碗，每次只能取一个。现在我们需要计算总共有多少种取碗的顺序。例如，对于2个碗，取碗的顺序可以是 2 1 或 1 2，这两种顺序都是合法的。而对于3个碗，给定顺序 3 1 2 不可能通过合法操作实现，因此该顺序不可行。

卡特兰数简介

卡特兰数是一系列自然数，通常出现在组合数学中。第n个卡特兰数可以用以下公式表示：

$Cn​=n+11​(n2n​)$

也可以用递推公式表示：

$Cn​=∑i=0n−1​Ci​⋅Cn−1−i​$

卡特兰数在很多问题中都有应用，例如：

• 二叉树的计数：第n个卡特兰数表示有n个节点的不同二叉树的数量。
• 括号匹配：第n个卡特兰数表示n对括号的所有合法匹配方式。
• 凸多边形的三角剖分：第n个卡特兰数表示将一个凸多边形分成n-2个三角形的方法数。

问题分析

对于n个碗，合法的取碗顺序数就是第n个卡特兰数。我们可以使用递推公式来计算卡特兰数。具体来说，第n个卡特兰数可以通过以下递推公式计算：

$Cn​=∑i=0n−1​Ci​⋅Cn−1−i​$

long long solution(int n) {
    if (n <= 1) {
        return 1;
    }

    vector<long long> catalan(n + 1, 0);
    catalan[0] = 1;
    catalan[1] = 1;

    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        for (int j = 0; j < i; ++j) {
            catalan[i] += catalan[j] * catalan[i - j - 1];
        }
    }

    return catalan[n];
}

代码解释

1. 初始化：

   • 如果 n 小于等于 1，直接返回 1，因为只有一个碗或没有碗时，只有一种取法。
   • 创建一个大小为 n + 1 的向量 catalan，用于存储卡特兰数。
   • 初始化 catalan[0] 和 catalan[1] 为 1。

2. 计算卡特兰数：

   • 使用双重循环计算第 i 个卡特兰数。
   • 外层循环从 2 到 n，内层循环从 0 到 i-1。
   • 根据递推公式 C_n = \sum_{i=0}^{n-1} C_i \cdot C_{n-1-i} 计算每个卡特兰数。

3. 返回结果：

   • 返回 catalan[n]，即第 n 个卡特兰数。

测试用例

• 测试用例 1：

  • 输入：n = 2
  • 输出：2
  • 解释：合法的取碗顺序有 2 1 和 1 2。

• 测试用例 2：

  • 输入：n = 3
  • 输出：5
  • 解释：合法的取碗顺序有 3 2 1、3 1 2、2 3 1、2 1 3 和 1 3 2。

• 测试用例 3：

  • 输入：n = 4
  • 输出：14
  • 解释：合法的取碗顺序有 14 种。

总结

通过使用卡特兰数，我们可以高效地计算出从1到n的碗的所有合法取碗顺序数。卡特兰数在组合数学中有着广泛的应用，掌握其计算方法不仅可以帮助我们解决类似的问题，还能加深对组合数学的理解。希望本文的详细解释和代码实现能帮助你更好地理解和解决问题。