徒步旅行中的补给问题|豆包MarsCode AI刷题

问题概述

小R计划从地点A到地点B进行徒步旅行，总路程需要N天。每天小R需要消耗1份食物，并且每天会经过一个补给站，每个补给站的食物价格可能不同。小R最多只能携带K份食物。我们的目标是帮助小R计算出完成这次旅行所需的最小花费。

解题思路

这个问题是一个典型的动态规划问题，涉及到状态转移和最优解的选择。我们可以定义一个二维数组dp[i][j]，其中dp[i][j]表示在第i天，小R携带j份食物时的最小花费。

1. 初始化：

   • dp[0][0] = 0：在第0天，不携带任何食物的花费为0。
   • 其他dp[0][j]（j > 0）和dp[i][0]（i > 0）可以初始化为一个较大的值，表示无效状态，因为小R每天至少需要1份食物。

2. 状态转移：

   • 对于每一天i（1 ≤ i ≤ N），小R有两个选择：

     • 购买食物：如果小R在第i天购买j份食物，那么他的花费是data[i-1] * j（因为数组是从0开始的），并且他需要从第i-1天的某个状态转移过来。
     • 不购买食物：如果小R在第i天不购买食物，那么他需要确保在第i-1天有足够的食物。

   具体状态转移方程如下：

   • 如果j > 0，则dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i-1][max(0, j-K)] + data[i-1] * j)

     • dp[i-1][j]表示第i-1天已经携带了j份食物，不需要额外购买。
     • dp[i-1][max(0, j-K)] + data[i-1] * j表示第i-1天携带了不超过K份食物，并在第i天购买j份食物。

   • 如果j == 0，则dp[i][j]是一个无效状态，因为我们假设每天至少需要1份食物。

3. 结果：

   • 我们需要找到dp[N][1]到dp[N][K]中的最小值，因为小R在第N天至少需要1份食物，但不超过K份。

实现细节

• 使用一个二维数组dp来存储中间结果。
• 遍历每一天和每一种可能的携带食物数量。
• 根据状态转移方程更新dp数组。
• 最后，从dp[N][1]到dp[N][K]中找到最小值。

复杂度分析

• 时间复杂度：O(N * K)，因为我们需要遍历N天和K种可能的携带食物数量。
• 空间复杂度：O(N * K)，用于存储dp数组。

通过上述方法，我们可以有效地解决小R的徒步旅行补给问题，确保他在旅途中以最小的花费获得足够的食物。

实现代码（Java）

public class Main {
    public static int solution(int n, int k, int[] data) {
        // 初始化dp数组
        int[][] dp = new int[n + 1][k + 1];
        for (int i = 0; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                dp[i][j] = Integer.MAX_VALUE;
            }
        }
        dp[0][0] = 0;
    
        // 填充dp数组
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= k; j++) {
                for (int x = 0; x <= k - j; x++) {
                    if (j >= x) {
                        dp[i][j] = Math.min(dp[i][j], dp[i - 1][j - x] + x * data[i - 1]);
                    }
                }
            }
        }
    
        // 返回结果
        return dp[n][0];
    }

    public static void main(String[] args) {
        // Add your test cases here

        System.out.println(solution(5, 2, new int[]{1, 2, 3, 3, 2}) == 9);
        System.out.println(solution(6, 3, new int[]{4, 1, 5, 2, 1, 3}) == 9);
        System.out.println(solution(4, 1, new int[]{3, 2, 4, 1}) == 10);
    }
}